Задача 63693 Вам предложена функция. проведите...

62336beb43d7f94828497d6e

18.03.2022 12:48:16

Вам предложена функция. проведите исследование, согласно схеме: 1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения с осями.

3. Исследовать функцию на четность/нечетность.

4. Найти асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.

8. Построить график.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.03.2022 08:16:14

★

1.
Область определения (- ∞ ;-2) U (-2;2) U(2;+ ∞ )

2.Точки пересечения с осями.

3. Исследовать функцию на четность/нечетность.

4. Найти асимптоты.



5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Находим производную

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`= ((x^3)`*(x^2-4)-x^3*(x^2-4)`)/(x^2-4)^2

y`=((3x^2*(x^2-4)-x^3*(2x))/(x^2-4)^2

y`=(x^4 -12x^2)/(x^2-4)^2

y`=0

x^4 - 12x^2=0
x^2*(x^2-12)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=12
x=0 или х = ± 2sqrt(3)

Знак производной:
__+___ (-2sqrt(3)) _-_ (-2) __-__ (0) _-__ (2) __-__ (2sqrt(3)) __+__

y`<0 на (-2sqrt(3); - 2) и на (-2; 2 ) и на (2; 2sqrt(3)) , значит функция монотонно убывает на (-2sqrt(3); - 2) и на (-2; 2 ) и на (2; 2sqrt(3))

y`>0 на (- ∞ ;-2sqrt(3)) и на (2sqrt(3);+ ∞ ) , значит функция монотонно возрастает на (- ∞ ;-2sqrt(3)) и на (2sqrt(3);+ ∞ )

x=-2sqrt(3) - точка максимума
f(-2sqrt(3))=(-2sqrt(3))^2/((-2sqrt(3))^2-4)= -3sqrt(3)

х=2sqrt(3) - точка минимума
f(2sqrt(3))=(2sqrt(3))^2/((2sqrt(3))^2-4)= 3sqrt(3)

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Находим вторую производную

y``=((x^4 -12x^2)/(x^2-4)^2)`

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=x^4-12x^2
v=(x^2-4)^2

u`=4x^3-24x

v`=2*(x^2-4)*(x^2-4)`=2*(x^2-4)*(2x)=4x(x^2-4)


y``=((4x^3-24x)*(x^2-4)^2-(x^4-12x^2)*4x*(x^2-4))/(x^2-4)^4

y``=((4x^3-24x)*(x^2-4)-(x^4-12x^2)*4x)/(x^2-4)^3

y``=(8x^3+96x)/(x^2-4)^3

y``=8x(x^2+12)/(x^2-4)^3

___________-______ (-2) ____+_____ (0) ____-____ (2) ______+____

y``<0 на (- ∞ ;-2) и на (0;2)

кривая выпукла вверх на (- ∞ ;-2) и на (0;2)

y``>0 на (-2 ;0) и на (2;+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (-2 ;0) и на (2;+ ∞ )

7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.

Находите самостоятельно.

x=1 ⇒ y=1^3/(1^2-4)=
x=3 ⇒ y=3^3/(3^2-4)=

8. Построить график.