Задача 63693 Вам предложена функция. проведите...

Antony

18 марта 2022 г. в 12:48

Вам предложена функция. проведите исследование, согласно схеме: 1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения с осями.

3. Исследовать функцию на четность/нечетность.

4. Найти асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.

8. Построить график.

exponenta

19 марта 2022 г. в 08:16

★

1.
Область определения (– ∞ ;–2) U (–2;2) U(2;+ ∞ )

2.Точки пересечения с осями.

3. Исследовать функцию на четность/нечетность.

4. Найти асимптоты.



5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Находим производную

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`·v–u·v`)/v²

y`= ((x<sup>3</sup>)`·(x²–4)–x³·(x²–4)`)/(x²–4)²

y`=((3x²·(x²–4)–x³·(2x))/(x²–4)²

y`=(x⁴ –12x²)/(x²–4)²

y`=0

x⁴ – 12x²=0
x²·(x²–12)=0 ⇒
x² = 0 или x²=12
x=0 или х = ± 2√3

Знак производной:
__+___ (–2√3) _–_ (–2) __–__ (0) _–__ (2) __–__ (2√3) __+__

y`<0 на (–2√3; – 2) и на (–2; 2 ) и на (2; 2√3) , значит функция монотонно убывает на (–2√3; – 2) и на (–2; 2 ) и на (2; 2√3)

y`>0 на (– ∞ ;–2√3) и на (2√3;+ ∞ ) , значит функция монотонно возрастает на (– ∞ ;–2√3) и на (2√3;+ ∞ )

x=–2√3 – точка максимума
f(–2√3)=(–2√3)²/((–2√3)²–4)= –3√3

х=2√3 – точка минимума
f(2√3)=(2√3)²/((2√3)²–4)= 3√3

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Находим вторую производную

y``=((x⁴ –12x²)/(x²–4)²)`

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`·v–u·v`)/v²

u=x⁴–12x²
v=(x²–4)²

u`=4x³–24x

v`=2·(x<sup>2</sup>–4)·(x<sup>2</sup>–4)`=2·(x²–4)·(2x)=4x(x²–4)


y``=((4x³–24x)·(x²–4)²–(x⁴–12x²)·4x·(x²–4))/(x²–4)⁴

y``=((4x³–24x)·(x²–4)–(x⁴–12x²)·4x)/(x²–4)³

y``=(8x³+96x)/(x²–4)³

y``=8x(x²+12)/(x²–4)³

___________–______ (–2) ____+_____ (0) ____–____ (2) ______+____

y``<0 на (– ∞ ;–2) и на (0;2)

кривая выпукла вверх на (– ∞ ;–2) и на (0;2)

y``>0 на (–2 ;0) и на (2;+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (–2 ;0) и на (2;+ ∞ )

7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.

Находите самостоятельно.

x=1 ⇒ y=1³/(1²–4)=
x=3 ⇒ y=3³/(3²–4)=

8. Построить график.