Задача 63543 Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 =...
Условие
Решение
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
Прямая
[m]5x – 6y – 16 = 0 [/m]- касательная к гиперболе⇒
Запишем уравнение касательной в виде уравнения с угловым коэффициентом:
[m]y=\frac{5}{6}x-\frac{16}{6}[/m] ⇒ k_(касательной )= [m]\frac{5}{6}[/m]
Найдем точку касания
k_(касательной )=[m]f`(x_{o})[/m]
Находим производную:
[m](\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2})`=1`[/m]
как производную неявно заданной функции ( если не знаем этой темы, то просто выражаем у через корень и считаем)
[m]\frac{2x}{a^2}-\frac{2y\cdot y`}{b^2}=0[/m]
[m]y`=\frac{b^2x}{a^2y}[/m]
[m]\frac{b^2x_{o}}{a^2y_{o}}=\frac{5}{6}[/m],
где [m]y_{o}=\frac{5}{6}x_{o}-\frac{16}{6}[/m]
⇒
[m]6b^x_{o}=5a^2y_{o}[/m] ⇒ [m]6b^x_{o}=5a^2(\frac{5}{6}x_{o}-\frac{16}{6})[/m] ⇒
[m]x_{o}=\frac{80a^2}{25a^2-36b^2}[/m]
[m]y_{o}=\frac{5}{6}\cdot \frac{80a^2}{25a^2-36b^2}-\frac{16}{6}=\frac{96b^2}{25a^2-36b^2}[/m]
M(x_(o);y_(o))=M([m]\frac{80a^2}{25a^2-36b^2};\frac{96b^2}{25a^2-36b^2}) [/m]- точка принадлежащая гиперболе
Аналогично, находим координаты второй точки
Прямая
[m]13x – 10y – 48 = 0[/m]- касательная к гиперболе⇒
Запишем уравнение касательной в виде уравнения с угловым коэффициентом:
[m]y=\frac{13}{10}x-\frac{48}{10}[/m] ⇒ k_(касательной )= [m]\frac{13}{10}[/m]
Найдем точку касания
N(x_(o);y_(o)) - точка принадлежащая гиперболе
Найдены две точки, принадлежащие гиперболе.
Подставляем координаты этих точек в уравнение гиперболы и найдем значения
а и b