Задача 63377 ...

61d9de1eacffe413ad532e0b

26.02.2022 16:52:55

а) решите уравнение 2sin(2x+π/6)-2sqrt(3)cosx=sqrt(3)sin2x+7/2
б) найдите все корни уровнения принадлежащие отрезку [3π;9π/2]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.02.2022 10:52:44

★

а)
[m]2sin(2x+\frac{π}{6})-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}[/m]

[m]2sin2x\cdot cos\frac{π}{6}+2cos2x\cdot sin\frac{π}{6}-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}[/m]

[m]2sin2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2cos2x\cdot \frac{1}{2}-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}[/m]


[m]\sqrt{3}sin2x+cos2x-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}[/m]

[m]cos2x-2\sqrt{3}cosx=\frac{7}{2}[/m]

[m]2cos^2x-1-2\sqrt{3}cosx=\frac{7}{2}[/m]

[m]4cos^2x-4\sqrt{3}cosx-9=0[/m] - квадратное уравнение относительно [m]cosx[/m]

D=16*3-4*4*(-9)=16*12=16*4*3

[m]\sqrt{D}=8\sqrt{3}[/m]


[m]cosx=\frac{4\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{8}[/m] или [m]cosx=\frac{4\sqrt{3}+8\sqrt{3}}{8}[/m]
[m]cosx=-\frac{4\sqrt{3}}{8}[/m] или [m]cosx=\frac{12\sqrt{3}}{8}[/m] не имеет корней, так как -1 ≤ cosx ≤ 1, [m]\frac{12\sqrt{3}}{8}>1[/m]


[m]cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]x= ± arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]x= ± (π-arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]x= ± (π-\frac{π}{6})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]x= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]- это ответ


б) найдите все корни уравнения принадлежащие отрезку [3π;9π/2]:

Указанному отрезку принадлежат два корня
[m]x=-\frac{5π}{6}+4π=\frac{19π}{6} ∈ [3π;\frac{9π}{2}][/m]

[m]x=\frac{5π}{6}+4π=\frac{29π}{6} ∈ [3π;\frac{9π}{2}][/m]