Задача 63377 ...

Лиза.....топ

26 февраля 2022 г. в 16:52

а) решите уравнение 2sin(2x+π/6)–2√3cosx=√3sin2x+7/2
б) найдите все корни уровнения принадлежащие отрезку [3π;9π/2]

exponenta

27 февраля 2022 г. в 10:52

★

а)
$2sin(2x+\frac{π}{6})-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}$

$2sin2x\cdot cos\frac{π}{6}+2cos2x\cdot sin\frac{π}{6}-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}$

$2sin2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2cos2x\cdot \frac{1}{2}-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}$


$\sqrt{3}sin2x+cos2x-2\sqrt{3}cosx=\sqrt{3}sin2x+\frac{7}{2}$

$cos2x-2\sqrt{3}cosx=\frac{7}{2}$

$2cos^2x-1-2\sqrt{3}cosx=\frac{7}{2}$

$4cos^2x-4\sqrt{3}cosx-9=0$ – квадратное уравнение относительно $cosx$

D=16·3–4·4·(–9)=16·12=16·4·3

$\sqrt{D}=8\sqrt{3}$


$cosx=\frac{4\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{8}$ или $cosx=\frac{4\sqrt{3}+8\sqrt{3}}{8}$
$cosx=-\frac{4\sqrt{3}}{8}$ или $cosx=\frac{12\sqrt{3}}{8}$ не имеет корней, так как –1 ≤ cosx ≤ 1, $\frac{12\sqrt{3}}{8}>1$


$cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x= ± arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2πn, n ∈$Z

$x= ± (π-arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2πn, n ∈$Z

$x= ± (π-\frac{π}{6})+2πn, n ∈$Z

$x= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈$Z– это ответ


б) найдите все корни уравнения принадлежащие отрезку [3π;9π/2]:

Указанному отрезку принадлежат два корня
$x=-\frac{5π}{6}+4π=\frac{19π}{6} ∈ [3π;\frac{9π}{2}]$

$x=\frac{5π}{6}+4π=\frac{29π}{6} ∈ [3π;\frac{9π}{2}]$