Задача 63321 Найти точки разрыва функции, если они...
Условие
Решение
На (0;π) функция непрерывна, так как y=sinx непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (π;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x–π непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 и х=π
x=0
Находим предел слева:
limx → –0f(x)=limx → –0(2–x=2–(–0)=2
Находим предел справа:
limx → +0f(x)=limx →– +0(sinx)=sin(+0)=0
предел слева ≠ пределу справа Это означает, что функция не имеет предела в точке
Значит не является непрерывной
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=0
который равен разности значений справа и слева
Справа y(0)=sin0=0
Cлева y(0)=2–0=2
Скачок 0–(–2)=2 – скачок (конечный)
х=0 – точка разрыва первого рода
x=π
Находим предел слева:
limx →π –0f(x)=limx →π–0sinx=sin(π –0)=0
Находим предел справа:
limx →π +0f(x)=limx →π+0(x–π)=(π +0)–π=0
предел слева = пределу справа limx →π –0f(x)=limx →π +0f(x)
Это означает, что функция имеет предел в точке
limx →π f(x)=0
По определению непрерывности этот предел должен равняться значению функции в точке
f(π)=sinπ=0
Так как limx →π f(x)=f(π),
то значит, функция непрерывна в точке х=π
x=π – точка непрерывности
