Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 63319 ...

Условие

а) решите уравнение sin2x=√2cos(п/2+x)
б) найдите все корни этого уровнения, принадлежащие отрезку [–2п;–п]

математика 10-11 класс 979

Решение

По формулам приведения:

[m]cos(\frac{π}{2}+x)=-sinx[/m]

Уравнение можно записать в виде:

[m]sin2x=\sqrt{2}\cdot (-sinx)[/m]

Применяем формулу синуса двойного угла:

[m]sin2x=2sinx\cdot cosx[/m]

тогда уравнение принимает вид:

[m]2sinx\cdot cosx=\sqrt{2}\cdot (-sinx)[/m]

[m]2sinx\cdot cosx+\sqrt{2}\cdot sinx[/m]

[m]sinx\cdot (2cosx+\sqrt{2})=0[/m]

[m]sinx=0 [/m] или [m]2cosx+\sqrt{2}=0[/m]


Решаем первое уравнение

[m]sinx=0 [/m] ⇒[red] [m]x=πm, m ∈ [/m] [b]Z[/b] [/red] - ответ первого уравнения


Решаем второе уравнение

[m]2cosx+\sqrt{2}=0[/m] ⇒ [m]cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒

Решение находим по формуле: [red][m]x= ± arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]

[red][m]x= ± ( π-\frac{π}{4})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]

[red][m]x= ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]

О т в е т. [m]x=πm, m ∈ [/m] [b]Z[/b]; [m] ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]


Б)
Отбор корней

Из ответа первого уравнения [red] [m]x=πm, m ∈ [/m] [b]Z[/b] [/red]
отрезку [–2π;–π] принадлежат два корня
–2π;
–π

Из ответа второго уравнения [red][m]x= ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]
отрезку [–2π;–π] принадлежит один корень

[m] \frac{3π}{4}-2π=- \frac{5π}{4} [/m]

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК