Задача 63319 ...

61e1d732780c6c1c8f672ce7

19 февраля 2022 г. в 22:55

а) решите уравнение sin2x=√2cos(п/2+x)
б) найдите все корни этого уровнения, принадлежащие отрезку [–2п;–п]

exponenta

19 февраля 2022 г. в 23:48

★

По формулам приведения:

[m]cos(\frac{π}{2}+x)=-sinx[/m]

Уравнение можно записать в виде:

[m]sin2x=\sqrt{2}\cdot (-sinx)[/m]

Применяем формулу синуса двойного угла:

[m]sin2x=2sinx\cdot cosx[/m]

тогда уравнение принимает вид:

[m]2sinx\cdot cosx=\sqrt{2}\cdot (-sinx)[/m]

[m]2sinx\cdot cosx+\sqrt{2}\cdot sinx[/m]

[m]sinx\cdot (2cosx+\sqrt{2})=0[/m]

[m]sinx=0 [/m] или [m]2cosx+\sqrt{2}=0[/m]


Решаем первое уравнение

[m]sinx=0 [/m] ⇒ [m]x=πm, m ∈ [/m] Z – ответ первого уравнения


Решаем второе уравнение

[m]2cosx+\sqrt{2}=0[/m] ⇒ [m]cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒

Решение находим по формуле: [m]x= ± arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+2πn, n ∈ [/m]Z

[m]x= ± ( π-\frac{π}{4})+2πn, n ∈ [/m]Z

[m]x= ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m]Z

О т в е т. [m]x=πm, m ∈ [/m] Z; [m] ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m]Z


Б)
Отбор корней

Из ответа первого уравнения [m]x=πm, m ∈ [/m] Z
отрезку [–2π;–π] принадлежат два корня
–2π;
–π

Из ответа второго уравнения [m]x= ± \frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m]Z
отрезку [–2π;–π] принадлежит один корень

[m] \frac{3π}{4}-2π=- \frac{5π}{4} [/m]