Задача 63317 а) решите уравнение...

Лиза_395306210

19 февраля 2022 г. в 18:21

а) решите уравнение 4sin³=3cos(x–п/2)
б) найдите все корни этого уровнения, принадлежащие отрезку [7п/2;9п/2]

exponenta

19 февраля 2022 г. в 22:55

★

$cos(x-\frac{π}{2})=cos(\frac{π}{2}-x)$

По формулам приведения:

$cos(\frac{π}{2}-x)=sinx$

Уравнение можно записать в виде:

$4sin^3x=3\cdot sinx$

$4sin^3x-3\cdot sinx=0$

Раскладываем на множители:

$sinx\cdot (4sin^2x-3)=0$


$sinx=0$ или $4sin^2x-3=0$


Решаем первое уравнение

$sinx=0$ ⇒ $x=πm, m ∈$ Z – ответ первого уравнения


Решаем второе уравнение

$4sin^2x-3=0$ ⇒ $sin^2x=\frac{3}{4}$ ⇒ $sinx= ± \frac{\sqrt{3}}{2}$

получили два простейших уравнения:

$sinx= - \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $sinx= \frac{\sqrt{3}}{2}$

Простейшее уравнение $sinx=a$ имеет смысл при –1 ≤ a ≤ 1

Решение находим по формуле: $x=(-1)^{k} arcsina+πk, k ∈$Z



$sinx= - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=(-1)^{k} arcsin(- \frac{\sqrt{3}}{2})+πk, k ∈$Z


$x=(-1)^{k}(-\frac{π}{3})+πk, k ∈$Z – ответ второго уравнения



$sinx= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=(-1)^{k} arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+πk, k ∈$Z


$x=(-1)^{k}\frac{π}{3}+πk, k ∈$Z– ответ третьего уравнения


О т в е т.$πm, m ∈$ Z ;$(-1)^{k}(-\frac{π}{3})+πk, k ∈$Z;
$(-1)^{k}\frac{π}{3}+πk, k ∈$Z



Б)
Отбираем корни.

Из первой серии ответов: $x=πm, m ∈$ Z
Отрезку [$\frac{7π}{2};\frac{9π}{2}$]

принадлежит корень $x=4\cdot π$

$\frac{7π}{2}≤ 4π ≤ 1\frac{9π}{2}$


Из второй серии ответов: $x=(-1)^{k}(-\frac{π}{3})+πk, k ∈$Z

Отрезку [$\frac{7π}{2};\frac{9π}{2}$]

принадлежит корень

$x=4π-\frac{π}{3}=\frac{11π}{3}$

Из третьей серии ответов: $x=(-1)^{k}\frac{π}{3}+πk, k ∈$Z

Отрезку [$\frac{7π}{2};\frac{9π}{2}$]

принадлежит корень

$x=4π+\frac{π}{3}=\frac{13π}{3}$

О т в е т. Отрезку [$\frac{7π}{2};\frac{9π}{2}$]

принадлежат три корня :

$4\cdot π$;

$\frac{11π}{3}$;

$\frac{13π}{3}$