Задача 63302 Решить вторую задачу Z = (sqrt(3)/3 +...

Валентина

17 февраля 2022 г. в 13:22

Решить вторую задачу

Z = (√3/3 + √3/3 I)¹⁰⁰

exponenta

17 февраля 2022 г. в 14:12

★

$(\frac{\sqrt{3}}{3}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{3})^{100}= (\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot (1+i))^{100}=( \frac{\sqrt{3}}{3})^{100}\cdot (1+i)^{100}$

Представим комплексное число $1+i$ в тригонометрической форме

$1+i=\sqrt{2}(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4})$


Применяем формулу Муавра

$(1+i)^{100}=(\sqrt{2}(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}))^{100}=2^{50}\cdot (cos\frac{100π}{4}+isin\frac{100π}{4})=$

$=2^{50}\cdot (cos 25 π+isin 25 π)=2^{50}\cdot (cos (24 π+π)+isin (24 π+π))=2^{50}\cdot (cosπ+isinπ)=2^{50}\cdot (-1+i\cdot 0)=-2^{50}$


$(\frac{\sqrt{3}}{3}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{3})^{100}=( \frac{\sqrt{3}}{3})^{100}\cdot (1+i)^{100}=\frac{3^{50}}{3^{100}}\cdot (-2^{50})=-\frac{2^{50}}{3^{50}}$