Задача 63201 ...

Suzuki

14 февраля 2022 г. в 12:40

Интегрирование иррациональных функций. Универсальный подстановка

∫ cos⁷ x · dx ,

exponenta

14 февраля 2022 г. в 13:21

★

∫ cos⁷xdx= ∫ cos⁶x·cosxdx=

так как

cosxdx=d(sinx)

и

cos²x=1–sin²x

cos⁶x=(cos²x)³=(1–sin²x)³

то
=∫(1–sin²x)³·d(sinx)= ∫ (1–3sin²x+3sin⁴x+sin⁶x)d(sinx)=

=∫ d(sinx)–3 ∫ sin²xd(sinx)+3 ∫ sin⁴xd(sinx)+ ∫ sin⁶xd(sinx)


=sinx–3·(sin³x/3)+3(sin⁵x/5)+(sin⁷x/7)+C

=sinx–sin³x+(3/5)sin⁴x+(1/7)sin⁷x+C


Можно сделать замену переменной


sinx=t

cosxdx=dt

=∫(1–t²)³·dt=