Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 63200 ...

Условие

Интегрирование иррациональных функций. Универсальный подстановка

[block] ∫ (dx)/(4cosx+sinx)[/block]

математика 10-11 класс 400

Решение

[b]Универсальная подстановка [/b]

(см скрин 1)

Тогда интеграл принимает вид:

[m] ∫ \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}= ∫\frac{2dt}{4-4t^2+2t}=∫\frac{dt}{2-2t^2+t}=-∫\frac{dt}{2t^2-t-2} [/m]

Получили интеграл, содержащий квадратный трехчлен.

Выделяем полный квадрат

[m]2t^2-t-2=2(t^2-\frac{1}{2}t-1)=2(t^2-2\cdot \frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2-1)=[/m]

[m]=2\cdot ((t-\frac{1}{4})^2-\frac{17}{16})[/m]


[m]∫\frac{dt}{2-2t^2+t}= -\frac{1}{2}∫\frac{dt}{(t-\frac{1}{4})^2-\frac{17}{16}} [/m]


Табличный интеграл ( см. скрин 2)

[m] a^2=\frac{17}{16} [/m] ⇒[m] a=\frac{\sqrt{17}}{4} [/m]


[m]x=t-\frac{1}{4}[/m]


[m]=- \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\frac{\sqrt{17}}{4}}ln|\frac{\frac{(t-\frac{1}{4})-\sqrt{17}}{4}}{(t-\frac{1}{4})+\frac{\sqrt{17}}{4}}| + C[/m]

где
t= tg (x/2)



[m]=- \frac{1}{\sqrt{17}}ln|\frac{4tg\frac{x}{2}-1-\sqrt{17}}{4tg \frac{x}{2}-1+\sqrt{17}}| + C[/m] - это ответ

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК