Задача 63090 Интегрирование иррациональных функций....

Suzuki

10 февраля 2022 г. в 09:07

Интегрирование иррациональных функций. Универсальный подстановка

exponenta

10 февраля 2022 г. в 12:33

★

1) и 2) интегралы относятся к теме интегрирование иррациональностей

В каждом интеграле отдельный метод интегрирования

1) выделение полного квадрата и сведение к табличному

2) замена переменной.


Универсальная подстановка применяется для вычисления интеграла

3)$∫ \frac{dx}{4cosx+sinx}$

(см скрин 1)

Тогда интеграл принимает вид:

$∫ \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}= ∫\frac{2dt}{4-4t^2+2t}=∫\frac{dt}{2-2t^2+t}$

Получили интеграл, содержащий квадратный трехчлен.

Выделяем полный квадрат

$2-2t^2+t=-2(t^2-\frac{1}{2}t-1)=-2(t^2-2\cdot \frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2-1)=$

$=-2\cdot ((t-\frac{1}{4})^2-\frac{17}{16})=2(\frac{17}{16}-(t-\frac{1}{4})^2)$


$∫\frac{dt}{2-2t^2+t}= \frac{1}{2}∫\frac{dt}{\frac{17}{16}-(t-\frac{1}{4})^2}$


Табличный интеграл ( см. скрин 2)
$a^2=\frac{17}{16}$ ;

$x=t-\frac{1}{4}$


$= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\frac{\sqrt{17}}{4}}ln|\frac{\frac{\sqrt{17}}{4}-(t-\frac{1}{4})}{\frac{\sqrt{17}}{4}+(t-\frac{1}{4})}| + C$

где
t= tg (x/2)

можно упростить...

$= \frac{1}{\sqrt{17}}ln|\frac{\sqrt{17}+1-4tg\frac{x}{2}}{\sqrt{17}-1+4tg \frac{x}{2}}| + C$ – это ответ

4) 5) интегрирование тригонометрических функций.
Каждый интеграл решается отдельным приемом ( методом). которые нужно знать.

Если хотите получить подробные решения по каждому интегралу выставляйте один интеграл в вопросе.

В решении привожу формулы, которые требуются для решения задачи. Все рисунки прикрепляются отдельно и потому очень трудно понять какой скрин к какому интегралу относится. Так что не поленитесь и задайте каждый вопрос отдельно...