Задача 63080 Решите неравенство log2(x-4) -...

6203ca87c50bbf357c45d242

09.02.2022 17:08:04

Решите неравенство log2(x-4) - 3log2((x+2)/(x-2)) > 2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.02.2022 17:19:46

★

[m]\left\{\begin {matrix}x^2-4>0\\\frac{x+2}{x-2}>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ x ∈ (- ∞ ;-2) U(2;+ ∞ )


[m]log_{2}(x^2-4)-3log_{2}\frac{x+2}{x-2} ≥ 2[/m]


[m]log_{2}(x^2-4)-3log_{2}\frac{x+2}{x-2} ≥ 2\cdot 1[/m]


[m]log_{2}(x^2-4)+log_{2}(\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ 2\cdot log_{2}2[/m]


[m]log_{2}(x^2-4)\cdot (\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ log_{2}2^2[/m]


Логарифмическая функция с основанием 2 >1[i] возрастающая[/i]

[m](x^2-4)\cdot (\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ 2^2[/m]


[m](x-2)(x+2)\cdot \frac{(x-2)^3}{(x+2)^3} ≥ 2^2[/m]


[m]\frac{(x-2)^4}{(x+2)^2} ≥ 2^2[/m]


[m]\frac{(x-2)^4}{(x+2)^2} - 2^2 ≥0 [/m]

[m](\frac{(x-2)^2}{x+2}-2)( \frac{(x-2)^2}{x+2}+2) ≥ 0[/m]


[m]\frac{((x-2)^2-2(x+2))\cdot (x-2)^2+2(x+2))}{(x+2)^2}≥ 0[/m]

[m]\frac{(x^2-4x+4-2x-4)\cdot (x^2-4x+4+2x+4)}{(x+2)^2}≥ 0[/m]

[m]\frac{(x^2-6x)\cdot (x^2-2x+8)}{(x+2)^2}≥ 0[/m]

x^2-2x+8 >0 при любых х, D<0

Решаем методом интервалов:

+__ (-2) __+__ [0] ___-_____ [6] __+______


x ∈ (- ∞ ;-2) U (-2;0] U[6;+ ∞ )

С учетом ОДЗ

x ∈ (- ∞ ;-2) U[6;+ ∞ )