Задача 63080 Решите неравенство log2(x-4) -...

машик

9 февраля 2022 г. в 17:08

Решите неравенство log₂(x–4) – 3log₂((x+2)/(x–2)) > 2

exponenta

9 февраля 2022 г. в 17:19

★

$\left\{\begin {matrix}x^2-4>0\\\frac{x+2}{x-2}>0\end {matrix}\right.$ ⇒ x ∈ (– ∞ ;–2) U(2;+ ∞ )


$log_{2}(x^2-4)-3log_{2}\frac{x+2}{x-2} ≥ 2$


$log_{2}(x^2-4)-3log_{2}\frac{x+2}{x-2} ≥ 2\cdot 1$


$log_{2}(x^2-4)+log_{2}(\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ 2\cdot log_{2}2$


$log_{2}(x^2-4)\cdot (\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ log_{2}2^2$


Логарифмическая функция с основанием 2 >1 возрастающая

$(x^2-4)\cdot (\frac{x+2}{x-2} )^{-3} ≥ 2^2$


$(x-2)(x+2)\cdot \frac{(x-2)^3}{(x+2)^3} ≥ 2^2$


$\frac{(x-2)^4}{(x+2)^2} ≥ 2^2$


$\frac{(x-2)^4}{(x+2)^2} - 2^2 ≥0$

$(\frac{(x-2)^2}{x+2}-2)( \frac{(x-2)^2}{x+2}+2) ≥ 0$


$\frac{((x-2)^2-2(x+2))\cdot (x-2)^2+2(x+2))}{(x+2)^2}≥ 0$

$\frac{(x^2-4x+4-2x-4)\cdot (x^2-4x+4+2x+4)}{(x+2)^2}≥ 0$

$\frac{(x^2-6x)\cdot (x^2-2x+8)}{(x+2)^2}≥ 0$

x²–2x+8 >0 при любых х, D<0

Решаем методом интервалов:

+__ (–2) __+__ [0] ___–_____ [6] __+______


x ∈ (– ∞ ;–2) U (–2;0] U[6;+ ∞ )

С учетом ОДЗ

x ∈ (– ∞ ;–2) U[6;+ ∞ )