Задача 62712 Провести полное исследование всех...

Darya_21

19 января 2022 г. в 18:39

Провести полное исследование всех функций и построить ее график

exponenta

20 января 2022 г. в 10:44

★

Область определения (– ∞ ;0)U(0;+ ∞ )

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической

Область определения симметрична относительно 0
но

$y(-x)=\frac{ 1-2(-x)^3}{(-x)^2}=\frac{1+2 x^3}{x^2}$

$y(-x) ≠ y(x)$ и $y(-x) ≠- y(x)$



Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Так как $lim_{x → 0}\frac{1-2 x^3}{x^2}=+ ∞$


Горизонтальных асимптот нет, так как

$lim_{x → ∞}\frac{1-2 x^3}{x^2}= ∞$

Наклонная асимптота:
$k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{1-2 x^3}{x^3}= -2$

$k=-2$

$b= lim_{x → ∞}(\frac{1-2 x^3}{x^2}-(-2)x)= lim_{x → ∞}\frac{1-2x^3+2x^3}{x^2}= 0$

$y=-2x$ – наклонная асимптота.


Исследование с помощью первой производной:

$y`=(\frac{1-2 x^3}{x^2})`$

$y`=\frac{(1-2 x^3)`\cdot x^2-(1-2x^3)\cdot (x^2)`}{(x^2)^2}$


$y`=\frac{(-6 x^2)`\cdot x^2-(1-2x^3)\cdot (2x)}{(x^2)^2}$

$y`=\frac{-6x^4-2x+4x^4}{x^4}$

$y`=\frac{-2(x^3+1)}{x^3}$

y`=0

x=–1; x=0
Расставляем знак производной на ОДЗ:

____–_ (–1) ___+___ (0) ____–__

y`<0 на (– ∞ ; –1) и на (0;+ ∞ )

Значит функция убывает на (– ∞ ; –1) и на (0;+ ∞ )

y`>0 на (–1;0)

Значит, функция возрастает на (–1;0)


x=–1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +


$y(-1)=\frac{1-2 \cdot (-1)^3}{(-1)^2}=3$


Исследование с помощью второй производной:


$y``=(y`)`=(\frac{-2(x^3+1)}{x^3})`=(-2-2x^(-3))`=6x^(-4)=\frac{6}{x^4}$


$y`` >0$ на (– ∞;0) и на (0;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на на (– ∞;0) и на (0;+ ∞ )

точек перегиба нет