Задача 62592 Решите неравенство log^2_(0.5) (2x-1) <=...
Условие
Решение
Замена переменной: [m]log_{0,5}x=t[/m]
[m]t^2 -9≤ 0[/m]
[m](t-3)(t+3) ≤ 0[/m]
Решаем методом интервалов:
[m]t=3[/m] или [m]t=-3[/m]
___+__ [-3] ___-___ [3] __+___
[m]-3 ≤ t ≤ 3 [/m]
[m]-3 ≤ log_{0,5}x ≤ 3 [/m]
[m]-3 \cdot 1 ≤ log_{0,5}x ≤ 3\cdot 1 [/m]
Заменим 1 : [m]log_{0,5}0,5=1[/m]
[m]-3log_{0,5}0,5 ≤ log_{0,5}x ≤ 3log_{0,5}0,5 [/m]
Применим свойство логарифма степени:
[m]log_{0,5}0,5^{-3} ≤ log_{0,5}x ≤ log_{0,5}0,5^{3} [/m]
Применим свойство монотонности логарифмической функции
с основанием 0< 0,5 <1 функция убывает
[m]0,5^{-3} ≥ x ≥ 0,5^{3} [/m]
[m]0,5^{3} ≤x ≤ 0,5^{-3} [/m]
[m]\frac{1}{8} ≤x ≤ 8 [/m]
C учетом ОДЗ о т в е т. [m](\frac{1}{2};8][/m]