Задача 62506 Решите...

Нина_158501837

3 января 2022 г. в 17:01

Решите неравенство

exponenta

4 января 2022 г. в 13:07

Запишем ОДЗ:

$\left\{\begin {matrix}(7^{-x^2}-6)(7^{-x^2+9}-1)>0\\\frac{7^{-x^2}-6}{7^{-x^2+9}-1}>0\\(7^{3-x^2}-5)^2>0 ⇒ 7^{3-x^2}-5 ≠ 0\end {matrix}\right.$

Так как $-x^2 ≤ 0$ ⇒$7^{-x^2} ≤ 1$

и потому
$7^{-x^2}-6<0$, значит вместо первого и второго неравенств системы получаем только одно неравенство:

$7^{-x^2+9}-1<0$ ⇒ $7^{-x^2+9}<1$ ⇒ $7^{-x^2+9}<7^{0}$

Показательная функция с основанием $7>1$ возрастающая ⇒

$-x^2+9 <0$ ⇒

$x^2-9>0$

$(x-3)(x+3) >0$

$x ∈ (- ∞ ;-3) \cup (3;+ ∞ )$


Третье неравенство системы, определяющей ОДЗ:

$7^{3-x^2}-5 ≠ 0$ ⇒

$7^{3-x^2} ≠ 5$ ⇒

$7^{3-x^2} ≠7^{log_{7}5}$ ⇒

$3-x^2 ≠log_{7}5$

$x^2 ≠ 3-log_{7}5$

$x ≠ ± \sqrt{ 3-log_{7}5}$


так как
$3-log_{7}5= log_{7}7^3-log_{7}5= log_{7}\frac{7^3}{5}$

Так как $2=log_{7}7^2<log_{7}\frac{7^3}{5}<log_{7}7^{3}=3$ ⇒$\sqrt{2} <|\sqrt{ 3-log_{7}5}|<\sqrt{3}$ ⇒

$± \sqrt{ 3-log_{7}5} ∉$$(- ∞ ;-3) \cup (3;+ ∞ )$

Таким образом

ОДЗ:$x ∈ (- ∞ ;-3) \cup (3;+ ∞ )$


Решение неравенства:

$log_{2}(7^{-x^2}-6)(7^{-x^2+9}-1)+log_{2}\frac{7^{-x^2}-6}{7^{-x^2+9}-1}>log_{2}(7^{3-x^2}-5)^2$

В условиях ОДЗ заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

$log_{2}(7^{-x^2}-6)(7^{-x^2+9}-1)\cdot (\frac{7^{-x^2}-6}{7^{-x^2+9}-1})>log_{2}(7^{3-x^2}-5)^2$

$log_{2}(7^{-x^2}-6)^2>log_{2}(7^{3-x^2}-5)^2$


Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастающая, получаем:

$(7^{-x^2}-6)^2>(7^{3-x^2}-5)^2$

Покажем, что неравенство верно при всех х, принадлежащих ОДЗ: $x ∈ (- ∞ ;-3) \cup (3;+ ∞ )$



При нахождении ОДЗ было получено неравенство:

$-x^2+9 <0$ ⇒ $-x^2 <-9$ ⇒

$0 < 7^{-x^2} < 1$

$-6 < 7^{-x^2}-6 < -5$

$25 < (7^{-x^2}-6)^2 < 36$


$0 < 7^{3-x^2} <1$

$-5 < 7^{3-x^2}-5 <-4$

$16 < (7^{3-x^2}-5)^2 <25$



Очевидно, что из полученных оценок: $(7^{-x^2}-6)^2 ∈ (25;36)$ и $(7^{3-x^2}-5)^2 ∈ (16;25)$


при любых $x ∈ (- ∞ ;-3) \cup (3;+ ∞ )$

$(7^{-x^2}-6)^2>(7^{3-x^2}-5)^2$