Задача 62493 Линия задана уравнением r = r(фи) в...

iodgnidrnggg

30 декабря 2021 г. в 12:27

Линия задана уравнением r = r(фи) в полярной системе координат.

Требуется:

1) построить линию по точкам от фи=0 до фи =пи , придавая значения через промежуток пи/6;
2) найти уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX – с
полярной осью;
3) определить вид линии по уравнению в декартовой системе координат;
4) сделать чертеж.

exponenta

30 декабря 2021 г. в 17:16

★

В полярной системе координат используется полярный луч

Любой луч задается точкой отсчета и направлением.

Направление полярного луча – положительное.

Поэтому на нем откладываем отрезки, значения которыx больше или равны 0

ρ ≥ 0 ⇒ 3 /(5+6cosφ)≥0 ⇒ 5+6cosφ≥0 ⇒ cosφ≥–5/6

Решив это тригонометрическое неравенство получим ограничения на полярный угол.

В данной задаче полярный угол :

–(arccos(–5/6) ≤ φ ≤ arccos (–5/6)

(φ=180 ° не берем!)

1)

φ =0⇒ сos0=1
ρ=3/(5+6·1)=3/11≈0,27

На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=3/11
получаем точку А (0;3/11)

φ =π/6⇒сosπ/6=√3/2 ≈ 0,87
ρ=3/(5+6·0,87)=0,3

На луче φ =π/6 откладываем расстояние ρ=0,3
получаем точку В (π/6; 0,3)

φ =π/4⇒cos(π/4)=√2/2 ≈0,7
ρ=3/(5+6·0,7)≈0,32

На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈0,32
получаем точку С (π/4;0,32)

φ =π/3⇒cos(π/3)=1/2
ρ=3/(5+6·(1/2))=0,375

На луче φ =π/6 откладываем расстояние ρ=0,375
получаем точку D (π/3;0,375)

φ =π/2⇒cos(π/2)=0
ρ=3/(5+6·0)=3/5=0,6

На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=0,375
получаем точку F (π/2;0,6)


и так далее


2) найти уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX – с
полярной осью
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

ρ =3/(5+6cos φ )

ρ=√(x²+y²)

cos φ =x/√(x²+y²)

Тогда уравнение примет вид

√(x²+y²)=3/(5+6x/√(x²+y²) ) ⇒

5√x²+y²+6x=3 ⇒

25(x²+y²)=(3–6x)²

25x²+25y²=9–36x+36x²

11x²–36x–25y²+9=0

можно выделить полный квадрат

3) определить вид линии по уравнению в декартовой системе координат

11x²–36x–25y²+9=0 – уравнение гиперболы со смещенным центром

вида
(x–x_o)²/a² + (y²/b²)=1