Задача 62435 дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. найдите...

Олег_589490856

26 декабря 2021 г. в 11:37

дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. найдите расстояние от точки D до плоскости AB1D1.

exponenta

26 декабря 2021 г. в 11:51

★

Поместим куб в систему координат. ( см. рис.)
Составляем уравнение плоскости AB₁D₁

Общее уравнение плоскости
a·x+b·y+c·z+d=0

Подставляем координаты точек
А (0;0;0): a·0+b·0+c·0+d=0 ⇒ d=0
В₁(1;0;1): a·1+b·0+c·1+0=0 ⇒ a+c=0 ⇒ a=–c
D₁(0;1;1): a·0+b·1+c·1+0=0 ⇒b+c=0 ⇒ b=–c

Общее уравнение плоскости принимает вид:
–с·x–с·y+c·z=0

Делим на с

–x–y+z=0 – уравнение плоскости AB₁D₁


Находим расстояние по формуле:

$ρ =\frac{|ax_{D}+by_{D}+cz_{D}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

D(0;1;0)
$ρ =\frac{|(-1)*0+(-1)*1+1*0||}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$