Задача 62374 Системы дифференциальных уравнений. {...
Условие
{ dx/dt = -x - 2y
{ dy/dt = 3x + 4y
Решение
x`(t)=-x-2y\\y`(t)=3x+4y \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения [m]y[/m] и подставим во второе первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`\\(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`)`=3x+4(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`) ⇒-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x``=3x-2x-2x`\end{matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m]-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x``=3x-2x-2x` [/m]
[m]\frac{1}{2}x``-\frac{3}{2}x`+x=0[/m] умножаем на 2:
[m]x``-3x`+2x=0[/m]
получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-3k+2=0[/m]
D=(-3)^2-4*2=9-8=1
[m]k_{1}=\frac{3-1}{2}=1[/m] и [m]k_{2}=\frac{3+1}{2}=2[/m] - корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения в таком случае имеет вид:
x_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
Находим
x`_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}\cdot (2t)`[/m]
x`_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
Подставляем
x_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
и
x`_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
в первое уравнение
[m]y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`[/m]
получаем:
y_(общее однород)=[m]-\frac{1}{2}\cdot (C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t})+(-\frac{1}{2})\cdot (C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t})[/m]
y_(общее однород)=[m]- C_{1}e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x=C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}\\y=- C_{1}e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{2t}\end{matrix}\right.[/m]
