Задача 62374 Системы дифференциальных уравнений. {...

Doran_287610281

23 декабря 2021 г. в 09:08

Системы дифференциальных уравнений.

{ dx/dt = –x – 2y
{ dy/dt = 3x + 4y

exponenta

23 декабря 2021 г. в 11:43

★

$\left\{\begin{matrix} x`(t)=-x-2y\\y`(t)=3x+4y \end{matrix}\right.$

Выразим из первого уравнения $y$ и подставим во второе первое уравнение:
$\left\{\begin{matrix} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`\\(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`)`=3x+4(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`) ⇒-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x``=3x-2x-2x`\end{matrix}\right.$

Решаем второе уравнение:

$-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x``=3x-2x-2x`$

$\frac{1}{2}x``-\frac{3}{2}x`+x=0$ умножаем на 2:

$x``-3x`+2x=0$

получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами



Cоставляем характеристическое уравнение:
$k^2-3k+2=0$

D=(–3)²–4·2=9–8=1

$k_{1}=\frac{3-1}{2}=1$ и $k_{2}=\frac{3+1}{2}=2$ – корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения в таком случае имеет вид:

x_{общее однород}=$C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}$


Находим

x`<sub>общее однород</sub>=$C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}\cdot (2t)`$

x`_{общее однород}=$C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t}$


Подставляем
x_{общее однород}=$C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}$

и

x`_{общее однород}=$C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t}$


в первое уравнение


$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x`$


получаем:

y_{общее однород}=$-\frac{1}{2}\cdot (C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t})+(-\frac{1}{2})\cdot (C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t})$

y_{общее однород}=$- C_{1}e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{2t}$


Итак, общее решение системы:

$\left\{\begin{matrix} x=C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}\\y=- C_{1}e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{2t}\end{matrix}\right.$