Задача 62252 При каких значениях параметра а...

Мина Харкер

17 декабря 2021 г. в 21:32

При каких значениях параметра а неравенство 4^x + (а — 1) · 2^x + 2а — 5 >0 выполнено при всех значениях х?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17 декабря 2021 г. в 22:54

★

Квадратное неравенство с параметром.

Замена переменной:

[m]2^{x}=t[/m]

[m]4^{x}=t^2[/m]

[m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m]


Это неравенство должно иметь решение:

t < t₁ или t > t₂


где t₁ <0 и t₂ <0


Обратная замена

2^x < t₁ или 2^x > t₂


Первое неравенство 2^x < t₁ не имеет решений, так как 2^{x} >0 и не может быть меньше отрицательного числа,

а второе неравенство 2^x > t₂ верно при любых х,

т.к положительное 2^x всегда больше любого отрицательного числа t₂


Переформулируем вопрос:

При каких значениях параметра а неравенство [m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m] имеет решение:

t < t₁ или t > t₂


где t₁ <0 и t₂ <0


Находим D:

D=(a–1)²–4·(2a–5)=a²–2a+1–8a+20=a²–10a+21

D >0 ⇒ тогда квадратное уравнение имеет два корня: t₁ и t₂


a²–10a+21>0

(a–3)(a–7)>0

__+___ (3) ___–___ (7) ___+__

a ∈ ( –∞ ;3) U(7;+ ∞)

По теореме Виета:

t₁ +t₂=–(a–1)

t₁ ·t₂=2a–5

t₁ <0 и t₂ <0 ⇒

t₁ +t₂<0
t₁ ·t₂>0


–(a–1)<0 ⇒ a>1
(2a–5) >0 ⇒ a>2,5


{a ∈ ( –∞ ;3) U(7;+ ∞)
{a>1
{a>2,5


⇒ a ∈ ( 2,5 ;3) U(7;+ ∞)– о т в е т