Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 62252 При каких значениях параметра а...

Условие

При каких значениях параметра а неравенство 4^x + (а — 1) * 2^x + 2а — 5 >0 выполнено при всех значениях х?

математика 10-11 класс 421

Решение

Квадратное неравенство с параметром.

Замена переменной:

[m]2^{x}=t[/m]

[m]4^{x}=t^2[/m]

[m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m]


Это неравенство должно иметь решение:

t < t_(1) или t > t_(2)


где t_(1) <0 и t_(2) <0


Обратная замена

2^(x) < t_(1) или 2^(x) > t_(2)


Первое неравенство 2^(x) < t_(1) не имеет решений, так как 2^{x} >0 и не может быть меньше отрицательного числа,

а второе неравенство 2^(x) > t_(2) верно при любых х,

т.к положительное 2^(x) всегда больше любого отрицательного числа t_(2)


Переформулируем вопрос:

При каких значениях параметра а неравенство [m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m] имеет решение:

t < t_(1) или t > t_(2)


где t_(1) <0 и t_(2) <0


Находим D:

D=(a-1)^2-4*(2a-5)=a^2-2a+1-8a+20=a^2-10a+21

D >0 ⇒ тогда квадратное уравнение имеет два корня: t_(1) и t_(2)


a^2-10a+21>0

(a-3)(a-7)>0

__+___ (3) ___-___ (7) ___+__

a ∈ ( -∞ ;3) U(7;+ ∞)

По теореме Виета:

t_(1) +t_(2)=-(a-1)

t_(1) *t_(2)=2a-5

t_(1) <0 и t_(2) <0 ⇒

t_(1) +t_(2)<0
t_(1) *t_(2)>0


-(a-1)<0 ⇒ a>1
(2a-5) >0 ⇒ a>2,5


{a ∈ ( -∞ ;3) U(7;+ ∞)
{a>1
{a>2,5


⇒ [b]a ∈ ( 2,5 ;3) U(7;+ ∞)[/b]- о т в е т

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК