Замена переменной:
[m]2^{x}=t[/m]
[m]4^{x}=t^2[/m]
[m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m]
Это неравенство должно иметь решение:
t < t_(1) или t > t_(2)
где t_(1) <0 и t_(2) <0
Обратная замена
2^(x) < t_(1) или 2^(x) > t_(2)
Первое неравенство 2^(x) < t_(1) не имеет решений, так как 2^{x} >0 и не может быть меньше отрицательного числа,
а второе неравенство 2^(x) > t_(2) верно при любых х,
т.к положительное 2^(x) всегда больше любого отрицательного числа t_(2)
Переформулируем вопрос:
При каких значениях параметра а неравенство [m]t^2+(a-1)t+(2a-5)>0[/m] имеет решение:
t < t_(1) или t > t_(2)
где t_(1) <0 и t_(2) <0
Находим D:
D=(a-1)^2-4*(2a-5)=a^2-2a+1-8a+20=a^2-10a+21
D >0 ⇒ тогда квадратное уравнение имеет два корня: t_(1) и t_(2)
a^2-10a+21>0
(a-3)(a-7)>0
__+___ (3) ___-___ (7) ___+__
a ∈ ( -∞ ;3) U(7;+ ∞)
По теореме Виета:
t_(1) +t_(2)=-(a-1)
t_(1) *t_(2)=2a-5
t_(1) <0 и t_(2) <0 ⇒
t_(1) +t_(2)<0
t_(1) *t_(2)>0
-(a-1)<0 ⇒ a>1
(2a-5) >0 ⇒ a>2,5
{a ∈ ( -∞ ;3) U(7;+ ∞)
{a>1
{a>2,5
⇒ [b]a ∈ ( 2,5 ;3) U(7;+ ∞)[/b]- о т в е т