Задача 62168 ...

olestra

14 декабря 2021 г. в 11:04

Решить интеграл ∫^π/2₀ (dx)/((1 + sin x + cos x)²) .

exponenta

14 декабря 2021 г. в 11:28

★

Тригонометрическая подстановка


tg(x/2)=t ⇒ x/2=arctgt

x=2arctgt

x=2dt/(1+t²)

sinx=2t/(1+t²); cosx=(1–t²)/(1+t²);

1+sinx+cosx=1+ (2t/(1+t²))+((1–t²)/(1+t²))=(1+t²+2t+1–t²)/(1+t²)=(2+2t)/(1+t²)

(1+sinx+cosx)²=((2+2t)/(1+t²))²


dx/(1+sinx+cosx)²=(1/2)(1+t²)dt/(1+t)²

x=0 ⇒ t=0

x=π/2 ⇒ t=1

∫₀ ¹(1/2)(1+t²)²dt/(1+t)² – неправильная дробь

выделяем целую часть,

∫₀ ¹(1/2)(1+t²)dt/(1+t)² =(1/2)∫₀ ¹(1+2t+t²–2t)/(1+t)²dt=

=(1/2)∫₀ ¹ ( 1 – (2t)/(1+t)²)dt=(1/2)∫₀ ¹ dt– ∫₀ ¹(t/(1+t)²)dt=

=(1/2)(t)|₀ ¹ –∫₀ ¹(t+1–1/(1+t)²)dt=

=(1/2)–∫₀ ¹dt/(1+t)dt +∫₀ ¹dt/(1+t)² =


=(1/2)–(ln|1+t|)|₀ ¹–(1/(1+t))|₀ ¹=


=(1/2)–ln2–(1/2)+1=1–ln2