Задача 62099 Разложить в ряд Фурье, заданную...

Vikki

11 декабря 2021 г. в 19:45

Разложить в ряд Фурье, заданную графически функцию. Подробно. Правильно ли я поняла, что она нечётная и решение уменьшается?

exponenta

12 декабря 2021 г. в 12:05

★

Функция периодическая, задана на отрезке [–2;2] , см . рис.

Нечетная.


Значит можно разложить в ряд по синусам на отрезке [–l;l]:


[m]f(x)= ∑ _{1}^{ ∞ }b_{n}sin\frac{π nx}{2}[/m]

[m] b_{n}=\frac{2}{l} ∫^{l}_{0}f(x)sin\frac{π nx}{2}dx=[/m]


l=2

так как
на [0;1]
f(x)=0;

на [1;2]
f(x)=x–1

[m]=\frac{1}{2} ∫^{2}_{1}(x-1)sin\frac{π nx}{2}dx=[/m]

считаем по частям

[m]u=x-1[/m] ⇒ [m]du=dx[/m]

[m]dv=sin\frac{π nx}{2}dx[/m] ⇒ [m]v= ∫ sin\frac{π nx}{2}dx=\frac{2}{πn} ∫ sin\frac{π nx}{2}d\frac{π nx}{2}=\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})[/m]

[m]∫^{2}_{1}(x-1)sin\frac{π nx}{2}dx=(x-1)\cdot\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})-∫^{2}_{1}\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})dx= [/m]считайте



Получаем

[m]f(x)= ∑ _{1}^{ ∞ }b_{n}sin\frac{π nx}{2}[/m]