Задача 62099 Разложить в ряд Фурье, заданную...

5f54a07dd4ce5a71e171a096

11.12.2021 19:45:10

Разложить в ряд Фурье, заданную графически функцию. Подробно. Правильно ли я поняла, что она нечётная и решение уменьшается?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.12.2021 12:05:55

★

Функция периодическая, задана на отрезке [-2;2] , см . рис.

Нечетная.


Значит можно разложить в ряд по синусам на отрезке [-l;l]:


[m]f(x)= ∑ _{1}^{ ∞ }b_{n}sin\frac{π nx}{2}[/m]

[m] b_{n}=\frac{2}{l} ∫^{l}_{0}f(x)sin\frac{π nx}{2}dx=[/m]


l=2

так как
на [0;1]
f(x)=0;

на [1;2]
f(x)=x-1

[m]=\frac{1}{2} ∫^{2}_{1}(x-1)sin\frac{π nx}{2}dx=[/m]

считаем по частям

[m]u=x-1[/m] ⇒ [m]du=dx[/m]

[m]dv=sin\frac{π nx}{2}dx[/m] ⇒ [m]v= ∫ sin\frac{π nx}{2}dx=\frac{2}{πn} ∫ sin\frac{π nx}{2}d\frac{π nx}{2}=\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})[/m]

[m]∫^{2}_{1}(x-1)sin\frac{π nx}{2}dx=(x-1)\cdot\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})-∫^{2}_{1}\frac{2}{πn}\cdot (-cos\frac{π nx}{2})dx= [/m]считайте



Получаем

[m]f(x)= ∑ _{1}^{ ∞ }b_{n}sin\frac{π nx}{2}[/m]