Задача 62056 сколько членов разложения бинома...

aezakmilo

19 мая 2021 г. в 09:09

сколько членов разложения бинома являются целыми числами. На фото сам бином

exponenta

15 декабря 2021 г. в 17:41

★

Формула бинома Ньютона:

$(a+b)^{n}=C^{0}_{n}a^{n}b^{0}+C^{1}_{n}a^{n-1}b^{1}+C^{2}_{n}a^{n-2}b^{2}+...+C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k} +...+C^{n}_{n}a^{0}b^{n}$

$T_{k}=C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k}$


n=36
$a=\sqrt[5]{3}$
$b=\sqrt[3]{7}$

$T_{k}=C^{k}_{36}(\sqrt[5]{3})^{36-k}(\sqrt[3]{7})^{k}$


$C^{k}_{36}$ – целые ( см. треугольник Паскаля)


Значит, чтобы слагаемое разложения было целым, достаточно, чтобы

$(\sqrt[5]{3})^{36-k}(\sqrt[3]{7})^{k}=3^{\frac{36-k}{5}}\cdot 7^{\frac{k}{7}}$ было целым.

А это означает, что

36–k должно быть кратно 5

и

k должно быть кратно 7


36–k кратно 5 при k=1; 6;11;16;21;26;31;36

k кратно 3 при k=0;3;6;9;12;15;18;21;24;27:30;33;36;


При k=6

$(\sqrt[5]{3})^{36-6}(\sqrt[3]{7})^{6}=3^{6}\cdot 7^{2}$– целое.



При k=21

$(\sqrt[5]{3})^{36-21}(\sqrt[3]{7})^{21}=3^{3}\cdot 7^{3}$– целое.


При k=36

$(\sqrt[5]{3})^{36-36}(\sqrt[3]{7})^{36}=3^{0}\cdot 7^{12}$– целое.



О т в е т. три члена разложения целые