Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 62056 сколько членов разложения бинома...

Условие

сколько членов разложения бинома являются целыми числами. На фото сам бином

математика ВУЗ 1353

Решение

Формула бинома Ньютона:

[m](a+b)^{n}=C^{0}_{n}a^{n}b^{0}+C^{1}_{n}a^{n-1}b^{1}+C^{2}_{n}a^{n-2}b^{2}+...+C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k} +...+C^{n}_{n}a^{0}b^{n}[/m]

[m]T_{k}=C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k} [/m]


n=36
[m]a=\sqrt[5]{3}[/m]
[m]b=\sqrt[3]{7}[/m]

[m]T_{k}=C^{k}_{36}(\sqrt[5]{3})^{36-k}(\sqrt[3]{7})^{k}[/m]


[m]C^{k}_{36}[/m] - целые ( см. треугольник Паскаля)


Значит, чтобы слагаемое разложения было целым, достаточно, чтобы

[m](\sqrt[5]{3})^{36-k}(\sqrt[3]{7})^{k}=3^{\frac{36-k}{5}}\cdot 7^{\frac{k}{7}}[/m] было целым.

А это означает, что

36-k должно быть кратно 5

и

k должно быть кратно 7


36-k кратно 5 при k=1; [b]6[/b];11;16;[b]21[/b];26;31;[b]36[/b]

k кратно 3 при k=0;3;[b]6[/b];9;12;15;18;[b]21[/b];24;27:30;33;[b]36[/b];


При k=6

[m](\sqrt[5]{3})^{36-6}(\sqrt[3]{7})^{6}=3^{6}\cdot 7^{2}[/m]- целое.



При k=21

[m](\sqrt[5]{3})^{36-21}(\sqrt[3]{7})^{21}=3^{3}\cdot 7^{3}[/m]- целое.


При k=36

[m](\sqrt[5]{3})^{36-36}(\sqrt[3]{7})^{36}=3^{0}\cdot 7^{12}[/m]- целое.



О т в е т. три члена разложения целые

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК