Задача 61806 В треугольнике ABC сторона AC больше...

Уук

25 ноября 2021 г. в 21:28

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB. Верно ли, что медиана, проведенная из вершины B, меньше медианы, проведенной из вершины C?

exponenta

25 ноября 2021 г. в 22:43

★

AC>AB
b>c ⇒ b–c >0



$m^2_{c}=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

2b²–c²=b²+b²–c²=b²+(b–c)·(b+c) ⇒

$m^2_{c}=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}>\frac{2a^2+b^2+(b-c)(b+c)}{4}$




$m^2_{b}=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$


2c²–b²=c²+c²–b²=c²+(c–b)·(c+b)=c²–(b–c)·(c+b)


$m^2_{b}=\frac{2a^2+c^2-(b-c)(b+c)}{4}$


2a²+b²+(b–c)(b+c)>2a²+c²–(b–c)(b+c)


$m^2_{c}>m^2_{b}$ ⇒$m_{c}>m_{b}$