Задача 61771 Комплексные числа, никак не могу...

dekclis

24 ноября 2021 г. в 09:42

Комплексные числа, никак не могу решить
Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической форме; 2)найти все корни уравнения z³=a²

exponenta

24 ноября 2021 г. в 14:35

★

Умножим и числитель и знаменатель
на (1–i·√3)

В знаменателе формула разности квадратов:
(1–i·√3)(1+i·√3)=1–(i·√3)2=1–i2·3=1+3=4

получим

a=–8·(1–i·√3)/4=–2·(1–i√3)=–2+2i√3 – это алгебраическая форма

a=x+iy

x=–2
y=2√3

|a|=√(x²+y²)=√((–2)²+(2√3)²)=4

cos φ =x/|a|=–2/4=–1/2
sin φ =y/|a|=2√3/4=√3/2 угол во второй четверти

⇒ φ =2π/3

a=4·(cos(2π/3)+isin(2π/3)) – тригонометрическая форма



========

a²=(–2+2i√3)2=4–8i√3–12=–8–8·i√3

Теперь для этого числа надо найти тригонометрическую форму

|a²|=√((–8)²+(–8·√3)²)=16

cos φ =–8/16=–1/2
sin φ =–√3/2 ⇒ угол в третьей четверти

φ =–2π/3

a:2=16·(cos(–2π/3)+i·sin(–2π/3))

Применяем формулу Муавра.

∛(–8–8·i√3)=∛16·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})+2πk}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+2πk}{3}), k ∈[/m] Z

при k=0
первый корень

z_o=∛16·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})}{3})=[/m]∛16·[m](cos\frac{(-2π)}{9}+isin\frac{(-2π)}{9})[/m]

при k=1
второй корень

z₁=∛16·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})+2π}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+2π}{3})[/m]=[/m]∛16·[m](cos\frac{(4π)}{9}+isin\frac{(4π)}{9})[/m]

при k=2
третий корень

z₂=∛16[m](cos[m]\frac{(-\frac{2π}{3})+4π}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+4π}{3})[/m]=∛16·[m](cos\frac{(10π)}{9}+isin\frac{(10π)}{9})[/m]
Корни расположены на окружности радиуса ∛16

Первая точка zo на пересечении окружности радиуса ∛16 и радиуса, образующего угол (–2π/9) c осью Ох

Вторая точка z1 на пересечении окружности радиуса ∛16 и радиуса, образующего угол (4π/9) c осью Ох

Вторая точка z2 на пересечении окружности радиуса ∛16 и радиуса, образующего угол (10π/9 )c осью Ох

Точки zo;z1;z2 делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 °