Задача 61633 Sinxcos5x-sin9xcos3x=0...
Условие
Решение
[r][m]sin α \cdot cos β =\frac{1}{2}(sin( α + β )+sin( α - β ))[/m][/r]
[m]sinxcos5x=\frac{1}{2}(sin( x +5x )+sin( x -5x ))=\frac{1}{2}sin6x +\frac{1}{2}sin(-4x)=\frac{1}{2}sin6x -\frac{1}{2}sin4x[/m]
[m]sin9xcos3x=\frac{1}{2}(sin(9 x +3x )+sin(9 x -3x ))=\frac{1}{2}sin12x +\frac{1}{2}sin6x[/m]
Уравнение:
[m]\frac{1}{2}sin6x -\frac{1}{2}sin4x-\frac{1}{2}sin12x -\frac{1}{2}sin6x=0[/m]
[m] -\frac{1}{2}sin4x-\frac{1}{2}sin12x =0[/m]
[m] sin4x+sin12x =0[/m]
Формула
[m]sin α + sin β =2 sin\frac{ α+ β }{2}cos \frac{ α- β }{2}[/m]
[m]2 sin\frac{ 4x+ 12x }{2}cos \frac{ 4x- 12x }{2}=0[/m]
[m]2 sin8x \cdot cos (-4x)=0[/m]
[m] sin8x=0[/m] или [m] cos (-4x)=0[/m] так как [m] cos (-4x)= cos 4x[/m]
[m]8x=πk, k ∈ [/m][b] Z[/b] или [m]4x=\frac{π}{2}+πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m]x=\frac{π}{8}k, k ∈ [/m][b] Z[/b] или [m]x=\frac{π}{8}+\frac{π}{4}n, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Второй ответ содержится в первом
О т в е т. [m]\frac{π}{8}k, k ∈ [/m][b] Z[/b]