Задача 61629 Составить канонические уравнения: а)...

Professor

18 ноября 2021 г. в 14:44

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, a – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, – эксцентриситет, – уравнение асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2c – фокусное расстояние), если

а). ; б). k = 1/2, = , в). D: y = –1.

exponenta

18 ноября 2021 г. в 23:06

★

a) Каноническое уравнение эллипса:
(x²/a²)+(y²/b²)=1

Подставляем координаты точек A и B:

{((17/3)/a²)+((1/9)/b²)=1
{((21/4)/a²)+((1/4)/b²)=1

{(17/3)b²+(1/9)/a²)=a²b²
{(21/4)b²+(1/4)a²=a²b²

(17/3)b²+(1/9)/a²)=(21/4)b²+(1/4)a²

(17/3)b²– (21/4)b²=(1/4)a²–(1/9)/a²)

(5/12)b²=(5/36)a²

3b²=a²

(17/3)b²+(1/9)·(3b²)=(3b²)·b²

3b²=2

b²= 2/3

a²=3·(2/3)=2


О т в е т. (x²/2)+(y²/(2/3))=1


б) Каноническое уравнение гиперболы:
(x²/a²)–(y²/b²)=1

Уравнения асимптот y= ± (b/a) x


Эксцентриситет

ε=c/a


По условию

Уравнения асимптот y= ± k x; k=1/2

значит b/a=1/2 ⇒ b=a/2

ε =√5/2

Недостаточно данных

( см. скрин.)

b/a=√ε²–1 ⇒ b=a/2

Нужна еще одна зависимость...


Подставляем в каноническое уравнение гиперболы
(x²/a²)–(y²/b²)=1



в)D: y= –1

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x²=2py, то фокус параболы

F(0; p/2)

D: y= – p/2

Значит,
–p/2=–1

p=2

О т в е т. x² = 4y