Задача 61629 Составить канонические уравнения: а)...

61963b0645bee2693529979d

18.11.2021 14:44:05

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет, - уравнение асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние), если

а). ; б). k = 1/2, = , в). D: y = -1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.11.2021 23:06:48

★

a) Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем координаты точек A и B:

{((17/3)/a^2)+((1/9)/b^2)=1
{((21/4)/a^2)+((1/4)/b^2)=1

{(17/3)b^2+(1/9)/a^2)=a^2b^2
{(21/4)b^2+(1/4)a^2=a^2b^2

(17/3)b^2+(1/9)/a^2)=(21/4)b^2+(1/4)a^2

(17/3)b^2- (21/4)b^2=(1/4)a^2-(1/9)/a^2)

(5/12)b^2=(5/36)a^2

3b^2=a^2

(17/3)b^2+(1/9)*(3b^2)=(3b^2)*b^2

3b^2=2

b^2= 2/3

a^2=3*(2/3)=2


О т в е т. [b](x^2/2)+(y^2/(2/3))=1[/b]


б) Каноническое уравнение гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Уравнения асимптот y= ± (b/a) x


Эксцентриситет

ε=c/a


По условию

Уравнения асимптот y= ± k x; k=1/2

значит b/a=1/2 ⇒ [b] b=a/2[/b]

ε =sqrt(5)/2

Недостаточно данных

( см. скрин.)

b/a=sqrt(ε^2-1) ⇒ [b] b=a/2[/b]

Нужна еще одна зависимость...


Подставляем в каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1



в)D: y= -1

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=2py, то фокус параболы

F(0; p/2)

D: y= - p/2

Значит,
-p/2=-1

p=2

О т в е т. [b]x^2 = 4y [/b]