Задача 61627 Интеграл 1/((sin(x))^4(cos(x)^3))...

Dx6

18 ноября 2021 г. в 12:27

Интеграл 1/((sin(x))⁴(cos(x)³))

exponenta

18 ноября 2021 г. в 14:44

★

$∫ \frac{dx}{sin^4xcos^3x}= ∫ \frac{cosxdx}{sin^4xcos^4x}dx=$

Подстановка

$sinx=t$ ⇒ sin²x=t² ⇒ cos²x=1–sin²x=1–t²

$cosx dx=dt$

$= ∫ \frac{dt}{t^4(1-t^2)^2}=$ – интегрирование рац дробей


Раскладываем дробь на простейшие

Применяем "искусственный прием" –t² и + t²:


$= \frac{1}{t^4(1-t^2)^2}= \frac{1-t^2+t^2}{t^4(1-t^2)^2}=\frac{1-t^2}{t^4(1-t^2)^2}+\frac{t^2}{t^4(1-t^2)^2}=$


$=\frac{1}{t^4(1-t^2)}+\frac{1}{t^2(1-t^2)^2}=$


$=\frac{1-t^2+t^2}{t^4(1-t^2)}+\frac{1-t^2+t^2}{t^2(1-t^2)^2}=\frac{1-t^2}{t^4(1-t^2)}+\frac{t^2}{t^4(1-t^2)}+\frac{1-t^2}{t^2(1-t^2)^2}+\frac{t^2}{t^2(1-t^2)^2}=$


$=\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^2(1-t^2)}+\frac{1}{t^2(1-t^2)}+\frac{1}{(1-t^2)^2}=$