Задача 61562 ...

Векторы а и b образуют угол φ= π/3. Зная, что |a| = 1, |b| = 2, вычислить а) c · d; б) |c x d|. с=2а+3b; d=–3a+5b

a)
c·d=(2 a+3 b)·(–3 a+5 b)=

=2 a·(–3) a+3 b·(–3) a+2 a·5 b+3· b·5 b=

=–6 a· a–9 b· a+10 a· b+15 b·b=

по свойству скалярного произведения векторов:

=–6 a· a+ a· b+15 b·b=


=–6|a|·| a|·cos0+ |a|· |b|·cos(π/3)+15 |b|·|b}·cos0=

=–6·1·1·1+1·2·(1/2)+15·2·2·1=–6+1+60=55


б)
[c × d]=[(2· a+3· b) × (–3· a+5· b)]=

=[2· a × (–3)· a]+[3· b × (–3)· a]+[2 ·a × 5· b]+[3· b × 5 ·b]=

=–6 [a × a]–9 [b × a]+10[ a × b]+15[ b × b]=

по свойству векторного произведения векторов:


=–6 [a × a]–9 (–[a × b]+10[ a × b]+15[ b × b]=


=–6 [a × a]+19[a × b]+15[ b × b]



|[c × d]|=|–6|·|a|·| a|·sin0+ |a|· |b|·sin(π/3)+15 |b|·|b}·sin0=

=6·1·1·0+19·1·2·(√3/2)+15·2·2·0=19√3