Задача 61549 . Прямая l касается эллипса, фокусы...

Акмарал_687635164

14 ноября 2021 г. в 18:50

. Прямая l касается эллипса, фокусы которого расположены в точках F1,
F2. Составить каноническое уравнение этого эллипса и найти его l : x + 2y + 4 = 0, F1 = (−1, 0), F2 (1, 0).

exponenta

14 ноября 2021 г. в 19:20

★

F₁F₂=2

2c=2

c=1

b²=a²–c² ⇒ a²=b²+c²

c=1⇒ a²=b²+1

Так как даны координаты фокусов и фокусы симметричны относительно начала координат, то
каноническое уравнение эллипса имеет вид:

(x²/a²)+(y²/b²)=1


Пусть M – точка касания прямой х+2у+4=0 и эллипса


Эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат.

Значит , точка М лежит и на прямой перпендикулярной данной

Запишем уравнение данной прямой как уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=–(1/2)x–2

Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат

ее уравнение: y=2x

Найдем координаты точки M как точки пересечения двух прямых:

{x+2y+4=0
{y=2x

x+2·2x+4=0

5x=–4

x=–0,8

y=2·(–0,8)=–1,6

M(–0,8; –1,6) подставляем координаты в уравнение эллипса

((–0,8)²/a²)+((–1,6)²/b²)=1

Решаем систему
{((–0,8)²/a²)+((–1,6)²/b²)=1
{ a²=b²+1 ⇒

0,64b²+2,56·(b²+1)=b²·(b²+1)

b⁴–2,2b²–2,56=0

D=(–2,2)²+4·2,56=4·(1,21+2,56)

b²=