Задача 61485 Записати комплексне число у...

618cd36fc3f0ac1eb26b1e5d

11.11.2021 11:28:41

Записати комплексне число у тригонометричній та показниковій формі

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.11.2021 12:28:18

★

[m]z=\frac{2\sqrt{2}}{1+i}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{1^2-i^2}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{1^2-(-1)}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{2}=\sqrt{2}(1-i)=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}[/m]

Представим число в тригонометрической форме

z=x+i*y
|z|=sqrt(x^2+y^2)
cos φ =x/|z|
sin φ =y/z

[m]z=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}[/m]
[m]x=\sqrt{2}[/m];[m]y=-\sqrt{2}[/m]

[m]|z|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/m]

[red][m]r=|z|=2[/m][/red]

[m]cos φ =\frac{x}{|z|}=\frac{\sqrt{2}}{2};[/m]

[m]sin φ ==\frac{y}{|z|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

⇒ угол в 4 четверти ( косинус положительный, синус отрицательный)

φ =-π/4

Значит

[m]z=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}=2\cdot (cos(-\frac{π}{4})+i\cdot sin(-\frac{π}{4}))[/m] тригонометрическая форма ⇒ [m]z=2\cdot e^{-i\cdot \frac{π}{4}}[/m]- показательная

Можно упростить тригонометрическую форму, используя свойства четности и нечетности входящих функций косинуса и синуса

[m]z=cos\frac{π}{4}-i\cdot sin\frac{π}{4}[/m]