Задача 61485 Записати комплексне число у...

Aladin

11 ноября 2021 г. в 11:28

Записати комплексне число у тригонометричній та показниковій формі

exponenta

11 ноября 2021 г. в 12:28

★

$z=\frac{2\sqrt{2}}{1+i}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{1^2-i^2}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{1^2-(-1)}=\frac{2\sqrt{2}(1-i)}{2}=\sqrt{2}(1-i)=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}$

Представим число в тригонометрической форме

z=x+i·y
|z|=√x²+y²
cos φ =x/|z|
sin φ =y/z

$z=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}$;$y=-\sqrt{2}$

$|z|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$

$r=|z|=2$

$cos φ =\frac{x}{|z|}=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$sin φ ==\frac{y}{|z|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇒ угол в 4 четверти ( косинус положительный, синус отрицательный)

φ =–π/4

Значит

$z=\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}=2\cdot (cos(-\frac{π}{4})+i\cdot sin(-\frac{π}{4}))$ тригонометрическая форма ⇒ $z=2\cdot e^{-i\cdot \frac{π}{4}}$– показательная

Можно упростить тригонометрическую форму, используя свойства четности и нечетности входящих функций косинуса и синуса

$z=cos\frac{π}{4}-i\cdot sin\frac{π}{4}$