Задача 61425 Объём параллелепипеда, построенного на...

61897b17327e2d0f77de197e

09.11.2021 11:23:50

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен V = 12.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, равна S = 3. Найти высоту
параллелепипеда, построенного на векторах 2a + b, a − b, a + b + 4c, которая опущена из
конца третьего вектора на грань, построенную на первых двух.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.11.2021 15:28:53

★

S_(данного параллелограмма)=[m]|[\vec{a} × \vec{b}]|[/m]

По условию:
S_(данного параллелограмма)=3 ⇒[m] |[\vec{a} × \vec{b}]|=3[/m]


S_( параллелограмма)=[m]|[(\vec{2a}+\vec{b}) ×( \vec{a}-\vec{b})]|[/m]

Найдем векторное произведение:

[m][(\vec{2a}+\vec{b}) ×( \vec{a}-\vec{b})]=[\vec{2a} × \vec{a}]+[\vec{b} × \vec{a}]-[\vec{2a} × \vec{b}]-[\vec{b} × \vec{b}][/m]

Так как[m] [\vec{a} × \vec{a}]=0[/m]

[m][\vec{a} × \vec{b}]=-[\vec{b} × \vec{a}][/m]

[m][(\vec{2a}+\vec{b}) ×( \vec{a}-\vec{b})]=3[\vec{a} × \vec{b}]=3\cdot 3=9[/m]

Аналогично

V_(данного параллелепипеда)=[m]|[\vec{a} × \vec{b}]\cdot\vec{c}|[/m]

По условию:

V_(данного параллелепипеда)=12⇒[m]|[\vec{a} × \vec{b}]\cdot\vec{c}|=12[/m]


V_( параллелепипеда)=[m]|[(\vec{2a}+\vec{b} )×( \vec{a}-\vec{b})]\cdot( \vec{a}+\vec{b}+4\vec{c})|[/m]

Найдем смешанное произведение

[m][(\vec{2a}+\vec{b} )×( \vec{a}-\vec{b})]\cdot( \vec{a}+\vec{b}+4\vec{c})=3\cdot ([\vec{a} × \vec{b}]\cdot( \vec{a}+\vec{b}+4\vec{c}))=[/m]

[m]=3\cdot ([\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{a}+[\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{b}+[\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{c})=3\cdot( 0+0+[\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{c})=3\cdot 4\cdot ([\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{c})=12\cdot ([\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{c}) [/m]

V_( параллелепипеда)=[m]3\cdot (|[\vec{a} × \vec{b}]\cdot \vec{c})|=3\cdot 9=36[/m]

V_( параллелепипеда)=S_( основания )*Н=S_( параллелограмма)*Н


36=36*H

Н=1

О т в е т. [b]H=1[/b]