Задача 60934 А) выполнить следующие действия над...

Doran_287610281

6 октября 2021 г. в 11:34

А) выполнить следующие действия над
комплексными числами:
б) Решить уравнение. Корни
уравнения записать в
тригонометрической и
показательной формах.

exponenta

6 октября 2021 г. в 13:04

★

A)
$(\sqrt{3}+i)(1-i\sqrt{3})= \sqrt{3}+i-i\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-i^2\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}+i-3i+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2i$

$((\sqrt{3}+i)(1-i\sqrt{3}))^{8}= (2\sqrt{3}-2i)^{8}$


$z=2\sqrt{3}-2i$

Представим число в тригонометрической форме и применим формулу Муавра.

z=x+i·y
|z|=√x²+y²
cos φ =x/|z|
sin φ =y/z

$2\sqrt{3}-2i$
$x=2sqrt{3}$;$y=-2$

|z|=√2√3²+(–2)²)=√12+4=√16=4

cos φ =x/|z|=2√3/4=√3/2;
sin φ =y/z=–2/4=–1/2

φ =–π/6

Значит

$2\sqrt{3}-2i$=4(cos(–π/6)+isin(–π/6))

По формуле Муавра ( cм. скрин 1):

$(2\sqrt{3}-2i)^{8}=4(cos(-\frac{π}{6})+isin(-\frac{π}{6}))^{8}=4^{8}\cdot (cos(8\cdot (-\frac{π}{6})+isin(8\cdot (-\frac{π}{6})=4^{8}\cdot (cos(-\frac{4π}{3})+isin(-\frac{4π}{3}))=$

=$4^{8}\cdot (-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=-32768+32768\sqrt{3}\cdot i$

О т в е т.

Б)

$z^2=-6+6i$


$z=\sqrt{-6+6i}$


Представим число $-6+6i$ в тригонометрической форме и применим формулу Муавра.

$-6+6i$

$x=-6$;$y=6$

$|-6+6i|$=√–6²+(6)²)=√36+36=6√2

cos φ =–6/6√2=–1/√2;
sin φ =6/6√2=1/√2;

φ =3π/4

Значит

$-6+6i$=6√2(cos(3π/4)+isin(3π/4))

$z=\sqrt{-6+6i}$

$\sqrt[2]{-6+6i}=\sqrt[2]{6\sqrt{2}}\cdot (cos\frac{\frac{3π}{4}+2 \pi k}{2}+isin\frac{\frac{3π}{4}+2 \pi k}{2})$, k ∈ Z

по формуле Муавра ( cм. скрин 2)


$\sqrt[2]{6\sqrt{2}}=\sqrt[4]{72}$

при k=0
первый корень
z_o$=\sqrt[4]{72}(cos\frac{3π}{8}+isin\frac{3π}{8})$

при k=1
второй корень
z₁$=\sqrt[4]{72}(cos\frac{\frac{3π}{4}+2 \pi }{2}+isin\frac{\frac{3π}{4}+2 \pi }{2})=\sqrt[4]{72}(cos(\frac{3π}{8}+π)+isin(\frac{3π}{8}+π)$


Корни расположены на окружности радиуса

$\sqrt[4]{72}$

Точки z_o;z₁ делят окружность на две ( потому что корень второй степени) равные части , каждая по 180 °
(cм. рис )