Задача 60834 Найдите все значения а, при каждом из...

Loly

25 сентября 2021 г. в 23:07

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений x(x²+y²–y–2)=|x|(y–2),y=x+a имеет ровно три различных решения.

exponenta

25 сентября 2021 г. в 23:24

★

1) x ≥ 0

|x|=x

{x(x²+y²–y–2)=x(y–2), ⇒ x(x²–y²–y–2–y+2)=0 ⇒ x(x²–y²–2y)=0 ⇒ x=0 или x²–y²–2y=0
{y=x+a


2)
x < 0

|x|=–x

{x(x²+y²–y–2)=–x(y–2), ⇒ x(x²–y²–y–2+y–2)=0 ⇒ x(x²–y²–4)=0 ⇒ x=0 или x²–y²–4=0
{y=x+a


Каждая система распадается на две системы

Но поскольку одна повторяющаяся, то получаем три системы.



{x=0
{y=x+a

или

{ x²–y²–2y=0
{y=x+a

или

{x²–y²–4=0
{y=x+a

Требование задачи : эти три системы должны иметь три решения ⇒

Решаем способом подстановки и выбираем то, что удовлетворяет требованию задачи