Задача 60664 Решите уравнение cosx-cos2x = sin3x...
Условие
Решение
[r]cos α -cos β =[/r]
[m]cosx-cos2x=-2 sin\frac{3x}{2}\cdot sin\frac{(-x)}{2}[/m]
По формуле:
[r]sin2 α =2sin α*cos α [/r]
[m]sin3x=2sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2}[/m]
Уравнение примет вид:
[m]-2 sin\frac{3x}{2}\cdot sin\frac{(-x)}{2}=2sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2}[/m]
[m] sin\frac{3x}{2}\cdot sin\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2}=0[/m]
[m] sin\frac{3x}{2}\cdot (sin\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2})=0[/m]
1) [m] sin\frac{3x}{2}=0[/m] ⇒ [m] \frac{3x}{2}=πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b] ⇒ [m] x=\frac{2}{3}πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]
или
2) [m](sin\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2})=0[/m] ⇒ [m]cos(\frac{π}{2}-\frac{x}{2})-cos\frac{3x}{2}=0[/m]
По формуле [r]cos α -cos β =[/r]
[m]-2sin\frac{(\frac{π}{2}-\frac{x}{2})+\frac{3x}{2}}{2}\cdot sin\frac{(\frac{π}{2}-\frac{x}{2})-\frac{3x}{2}}{2}=0[/m]
[m]-2sin(\frac{π}{4}+\frac{x}{2})\cdot sin(\frac{π}{4}-x)=0[/m]
[m]sin(\frac{π}{4}+\frac{x}{2})=0[/m] ⇒ [m]\frac{π}{4}+\frac{x}{2}=πn, n ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]\frac{x}{2}=-\frac{π}{4}+ πn, n ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]x=-\frac{π}{2}+ 2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b]
или
[m] sin(\frac{π}{4}-x)=0[/m]⇒ [m]\frac{π}{4}-x=πl, l ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]-x=-\frac{π}{4}+ πl, l ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]x=\frac{π}{4}+ πm, m ∈[/m] [b]Z[/b] ,[m] m=-l/m]
О т в е т.[m] \frac{2}{3}πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b] ; [m]-\frac{π}{2}+ 2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b] ; [m]x=\frac{π}{4}+ πm, m ∈[/m] [b]Z[/b] ,