Задача 60450 Решить логарифмическое...

60d86d5ba1c50e1d30440bb5

30.07.2021 22:25:34

Решить логарифмическое неравенство
log(25)(5^x-1)*log5(5^(x+2)-25) < 4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.07.2021 22:41:51

★

ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}5^{x}-1>0\\5^{x+2}-25>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}5^{x}-1>0\\5^{x}\cdot 5^2-25>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}5^{x}-1>0\\25\cdot (5^{x}-1)>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒

ОДЗ: [m]5^{x}-1 >0[/m] ⇒ [m] x >0[/m]


[m]log_{25}(5^{x}-1)\cdot log_{5}(5^{x+2}-25) < 4 [/m]

[m]log_{5^2}(5^{x}-1)\cdot log_{5}(25\cdot (5^{x}-1) < 4 [/m]

[m]\frac{1}{2}log_{5}(5^{x}-1)\cdot( log_{5}25+log_{5} (5^{x}-1) )< 4 [/m]


[m]\frac{1}{2}log_{5}(5^{x}-1)\cdot( 2+log_{5} (5^{x}-1) )< 4 [/m]


[m]log^2_{5}(5^{x}-1)+2log_{5} (5^{x}-1) -8 <0[/m] - квадратное неравенство относительно [m]log_{5} (5^{x}-1) [/m]

D=2^2-4*(-8)=36

корни -4 и 2

[m]-4 <log_{5} (5^{x}-1)<2 [/m]


[m]-4\cdot log_{5}5 <log_{5} (5^{x}-1)<2\cdot log_{5}5​[/m]

[m]log_{5}5^{-4} <log_{5} (5^{x}-1)< log_{5}5^{2}​[/m]

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая

[m]5^{-4} < 5^{x}-1< 5^{2}​[/m]

[m]5^{-4}+1 < 5^{x}< 5^{2}+1​[/m]

[m]5^{-4}+1 < 5^{x}< 5^{2}+1​[/m]

[m]\frac{626}{625} < 5^{x}< 26​[/m]

[m]log_{5}\frac{626}{625} < x<log_{5} 26​[/m]

С учетом ОДЗ, получаем ответ

[m]log_{5}\frac{626}{625} < x<log_{5} 26​[/m]