Задача 60436 Тангенс угла между боковыми гранями...

mari

27 июля 2021 г. в 21:22

Тангенс угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен 2 корня из 2. Найдите градусную меру плоского угла при вершине пирамиды.

exponenta

29 июля 2021 г. в 14:57

★

BK ⊥ SA и СК ⊥ SA ⇒ SA ⊥ пл. ВКС

∠ ВКС – линейный угол двугранного угла

tg ∠ BKC=$2\sqrt{2}$


Пусть плоский угол при вершине $α$

Выразим тригонометрические функции ∠ BKC через тригонометрические функции угла $α$


Обозначим сторону основания пирамиды через $a$ ,

Находим

$SD=\frac{CD}{tg\frac{α}{2}}=CD\cdot ctg\frac{α}{2} =\frac{a}{2}\cdot ctg\frac{α}{2}$

$SC=\frac{CD}{sin\frac{α}{2}}=\frac{a}{2sin\frac{α}{2}}$

S _{Δ SBC}=$\frac{1}{2}BC\cdot SD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}\cdot ctg\frac{α}{2}=\frac{a^2}{4}\cdot ctg\frac{α}{2}$


S _{Δ SAC}=S _{Δ SBC}=S _{Δ SAB}

SA=SB=SC


Так как с другой сторона

S _{Δ SAC}=$\frac{1}{2}SA\cdot KC$, то


KC=$\frac{2S_{ Δ SAC}}{SA}=\frac{2\cdot \frac{a^2}{4}\cdot ctg\frac{α}{2}}{\frac{a}{2sin\frac{α}{2}}}=actg\frac{α}{2}\cdot sin\frac{α}{2}=a\cdot cos\frac{ α}{2}$


Из Δ СDK

sin $\frac{ ∠ BKC}{2}=\frac{CD}{KC}=\frac{\frac{a}{2}}{a cos\frac{α}{2}}=\frac{1}{2cos\frac{α}{2}}$

Итак, получена связь между синусом половинного угла $\frac{ ∠ BKC}{2}$ и косинусом половинного угла $\frac{α}{2}$


По условию
tg∠ BKC=2√2 ⇒ 1+tg² ∠ BKC =9

По формулам тригонометрии

$1+tg^2 ∠ BKC =\frac{1}{cos^2∠ BKC}$ ⇒ $cos^2∠ BKC=\frac{1}{9}$ ⇒

Так как tg∠ BKC=2√2 > 0 ⇒ ∠ BKC– острый.

$cos∠ BKC=\frac{1}{3}$


Синус половинного аргумента:

sin² $\frac{ ∠ BKC}{2}=\frac{1-cos∠ BKC}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$

sin $\frac{ ∠ BKC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Получаем в полученное ранее равенство: sin $\frac{ ∠ BKC}{2}=\frac{1}{2cos\frac{α}{2}}$
⇒

$\frac{1}{2cos\frac{α}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ⇒$cos\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒

$\frac{α}{2}=30 °$ ⇒ $α =60 °$

О т в е т. 60 °