Задача 60376 x^2-8a+a^2-6x/x^2+a-8=0 Найти все a, при...
Условие
Решение
Дробь равна 0 тогда и только тогда, кода числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля
{x^2–8a+a^2–6x=0
{x^2+a-8 ≠ 0
Первое уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения положителен
x^2–8a+a^2–6x=0
⇒
x^2-6x+a^2-8a=0;
D=(-6)^2-4*(a^2-8a)=36-4a^2+32a ⇒ D=-4*(a^2-8a-9)
D >0 ⇒ a^2-8a-9 <0
a^2-8a+9=a^2-8a-8-1=(a^2-1)-8(a+1)=(a+1)*(a-1-8)=(a+1)*(a-9)
(a+1)*(a-9) <0 ⇒ a ∈ (-1;9)
Осталось исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.
Для этого можно надо решить уравнение:
x^2–8a+a^2–6x =x^2+a-8
6x=a^2-9a+8
x=(a^2-9a+8)/6 - это общий корень числителя и знаменателя.
Надо найти, при каких а дробь (a^2-9a+8)/6 является корнем числителя или не является корнем знаменателя.
Подставляем найденное значение х во второе неравенство системы:
x^2+a-8 ≠ 0
(a^2-9a+8)/6)^2+a-8 ≠ 0
(a^2-9a+8)^2+36(a-8) ≠ 0
((a-8)(a-1))^2+36(a-8) ≠ 0 ⇒ a ≠ 8
(a-8)*((a-8)*(a-1)^2+36)≠ 0
⇒ a ≠ 8
или
(a-8)*(a-1)^2+36≠ 0
(a+1)*(a-4)*(a-7)≠ 0
(a^2-2a+1)*(a-8)+36 ≠ 0
a^3-2a^2+a-8a^2+16a-8+36=0
a^3-10a^2+17a+28 ≠ 0
a=-1 - корень уравнения a^3-10a^2+17a+28 = 0, так как -1-10-17+28=0 - верно
(a+1)*(a^2-11a+28)≠ 0
(a+1)*(a-4)*(a-7)≠ 0
a ≠ -1; a ≠ 4; a ≠ 7
[red][b]О т в е т. (-1;4)U(4;7)U(7;8)U(8;9)[/b][/red]
можно посмотреть решения аналогичных задач:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47048
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37732
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37757