Задача 60376 x^2-8a+a^2-6x/x^2+a-8=0 Найти все a, при...

samvel1403

15 июля 2021 г. в 12:27

x²–8a+a²–6x/x²+a–8=0 Найти все a, при которых. уравнение имеет ровна 2 решение

exponenta

15 июля 2021 г. в 12:57

★

[m]\frac{x^2–8a+a^2–6x}{x^2+a-8}=0[/m]

Дробь равна 0 тогда и только тогда, кода числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля

{x²–8a+a²–6x=0
{x²+a–8 ≠ 0


Первое уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения положителен

x²–8a+a²–6x=0
⇒
x²–6x+a²–8a=0;

D=(–6)²–4·(a²–8a)=36–4a²+32a ⇒ D=–4·(a²–8a–9)

D >0 ⇒ a²–8a–9 <0

a²–8a+9=a²–8a–8–1=(a²–1)–8(a+1)=(a+1)·(a–1–8)=(a+1)·(a–9)

(a+1)·(a–9) <0 ⇒ a ∈ (–1;9)


Осталось исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Для этого можно надо решить уравнение:

x²–8a+a²–6x =x²+a–8

6x=a²–9a+8

x=(a²–9a+8)/6 – это общий корень числителя и знаменателя.

Надо найти, при каких а дробь (a²–9a+8)/6 является корнем числителя или не является корнем знаменателя.


Подставляем найденное значение х во второе неравенство системы:

x²+a–8 ≠ 0

(a²–9a+8)/6)²+a–8 ≠ 0

(a²–9a+8)²+36(a–8) ≠ 0

((a–8)(a–1))²+36(a–8) ≠ 0 ⇒ a ≠ 8

(a–8)·((a–8)·(a–1)²+36)≠ 0

⇒ a ≠ 8

или

(a–8)·(a–1)²+36≠ 0

(a+1)·(a–4)·(a–7)≠ 0


(a²–2a+1)·(a–8)+36 ≠ 0

a³–2a²+a–8a²+16a–8+36=0

a³–10a²+17a+28 ≠ 0

a=–1 – корень уравнения a³–10a²+17a+28 = 0, так как –1–10–17+28=0 – верно

(a+1)·(a²–11a+28)≠ 0

(a+1)·(a–4)·(a–7)≠ 0


a ≠ –1; a ≠ 4; a ≠ 7




О т в е т. (–1;4)U(4;7)U(7;8)U(8;9)


можно посмотреть решения аналогичных задач:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47048

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37732

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37757