Задача 60365 решить дифф уравнение y"-y'=4e^x...

606b2612286699463e30818a

06.07.2021 10:20:22

решить дифф уравнение
y"-y'=4e^x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.07.2021 13:39:14

★

Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)


Решаем однородное :

y'' − y' =0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-k=0

k*(k-1)=0

k_(1)=0; k_(2)=1- корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)


Подставляем k_(1)=0; k_(2)=1:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(1*x)

[blue][b]y_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(x)[/b][/blue]

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения

применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид.

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неод)=A*[b]x[/b]*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неод)=(A*x*e^(x))`=A*e^(x)+A*x*e^(x)

y``_(част неод)=(A*e^(x)+A*x*e^(x))`=A*e^(x)+A*e^(x)+A*x*e^(x)

подставляем в данное уравнение:
A*e^(x)+A*e^(x)+A*x*e^(x)-A*e^(x)-A*x*e^(x)=4*e^(x)

и находим коэффициент:
A=4
О т в е т.
Общее решение :
у_(общее неод)=y_(обще одн.)+y_(част неод)=[blue][b]С_(1)+C_(2)*e^(x)[/b][/blue]+4*[b]x[/b]*e^(х)