Задача 60365 решить дифф уравнение y"-y'=4e^x...

606b2612286699463e30818a

6 июля 2021 г. в 10:20

решить дифф уравнение
y"–y'=4e^x

exponenta

6 июля 2021 г. в 13:39

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения у_{общее неод}=y_{общее одн.}+y_{част неод}


Решаем однородное :

y'' − y' =0

Составляем характеристическое уравнение:

k²–k=0

k·(k–1)=0

k₁=0; k₂=1– корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_{общее одн.}=С₁·e^k₁x+C₂·e^k₂x


Подставляем k₁=0; k₂=1:

y_{общее одн.}=С₁·e^0·x+C₂·e^1·x

y_{общее одн.}=С₁+C₂·e^x

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения

применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид.

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_{част неод}=A·x·e^x

Находим производную первого, второго порядка
y`<sub>част неод</sub>=(A·x·e<sup>x</sup>)`=A·e^x+A·x·e^x

y``_{част неод}=(A·e^x+A·x·e^x)`=A·e^x+A·e^x+A·x·e^x

подставляем в данное уравнение:
A·e^x+A·e^x+A·x·e^x–A·e^x–A·x·e^x=4·e^x

и находим коэффициент:
A=4
О т в е т.
Общее решение :
у_{общее неод}=y_{обще одн.}+y_{част неод}=С₁+C₂·e^x+4·x·e^х