Задача 60211 Исследовать средствами дифференциального...

60c24e61a1c50e1d3043d66a

10.06.2021 20:41:14

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить её график.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.06.2021 13:16:50

★

Область определения (- ∞ ;-3)U(-3;+ ∞ )

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической

Область определения не симметрична относительно 0 и

[m] y(-x)=\frac{ (-x)^3}{5(-x+3)^2}=-\frac{ x^3}{5(x-3)^2}[/m]

[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]


Прямая [m] x=-3 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.

Так как [m] lim_{x → -3}\frac{ x^3}{5(x+3)^2}=- ∞ [/m]


[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как

[m] lim_{x → ∞}\frac{ x^3}{5(x+3)^2}= ∞ [/m]

Наклонная асимптота:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{ x^3}{5x(x+3)^2}= \frac{1}{5} [/m]

[m]k=\frac{1}{5} [/m]

[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{ x^3}{5(x+3)^2}-\frac{1}{5} x)= lim_{x → ∞}\frac{x^3-(x+3)^2\cdot x}{{5(x+3)^2}}= lim_{x → ∞}\frac{-6x^2-9x}{5(x+3)^2}=-\frac{6}{5}[/m]

[m]y=\frac{1}{5}x-\frac{6}{5}[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].


[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:

[m]y`=\frac{1}{5}\cdot \frac{3x^2\cdot \cdot (x+3)^2-x^3\cdot 2(x+3)}{((x+3)^2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{(x+3)(3x^2\cdot (x+3)-2x^3}{(x+3)^4}[/m]


[m]y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{3x^2+9x^2-2x^3)}{(x+3)^3}[/m]

[m]y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3}[/m]

[m]y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3}[/m]

y`=0

x=-9; x=0
Расставляем знак производной на ОДЗ:

____+_ (-9) ___-___ (-3) ____+__ (0) ___+__

y`>0 на (- ∞ ;-9) и на (-3;0) и на (0;+ ∞ )

Значит функция возрастает на (- ∞ ; -9) и на (-3;0) и на (0;+ ∞ )

y`<0 на (-9;-3)

Значит, функция убывает на (-9;-3)


x=-9 - точка максимума, производная меняет знак с + на -


[m]y(-9)=\frac{(-9)^3}{5(-9+3)^2}=-\frac{81}{20}=-4\frac{1}{20}[/m]


[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]


[m]y``=(y`)`=(\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3})`[/m]


[m]y``=\frac{1}{5}\cdot \frac{ (x^3+9x^2)`\cdot (x+3)^3-(x^3+9x^2)\cdot ((x+3)^3)`}{((x+3)^3)^2}[/m]

[m]y``=\frac{1}{5}\cdot\frac{ (3x^2+18x)\cdot (x+3)^3-(x^3+9x^2)\cdot 3(x+3)^2)}{(x+3)^6}[/m]

Выносим за скобки 3(x+3)^2:

[m]y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{((x^2+6x)\cdot (x+3)-(x^3+9x^2)}{(x+3)^4}[/m]

Раскрываем скобки в числителе.

[m]y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{x^3+6x^2+3x^2+18x-x^3-9x^2}{(x+3)^4}[/m]


[m]y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{18x}{(x+3)^4}[/m]


[m]y`` <0 [/m] на (- ∞ ; 0) и (-3;0) ⇒ функция выпукла вверх на (- ∞ ; -3) и (-3;0)

m]y`` >0 [/m] на (0;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на (0;+ ∞ )

x=0 - точка перегиба

y(0)=0