Задача 60211 Исследовать средствами дифференциального...

Ива

10 июня 2021 г. в 20:41

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить её график.

exponenta

11 июня 2021 г. в 13:16

★

Область определения (– ∞ ;–3)U(–3;+ ∞ )

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической

Область определения не симметрична относительно 0 и

$y(-x)=\frac{ (-x)^3}{5(-x+3)^2}=-\frac{ x^3}{5(x-3)^2}$

$y(-x) ≠ y(x)$ и $y(-x) ≠- y(x)$


Прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Так как $lim_{x → -3}\frac{ x^3}{5(x+3)^2}=- ∞$


Горизонтальных асимптот нет, так как

$lim_{x → ∞}\frac{ x^3}{5(x+3)^2}= ∞$

Наклонная асимптота:
$k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{ x^3}{5x(x+3)^2}= \frac{1}{5}$

$k=\frac{1}{5}$

$b= lim_{x → ∞}(\frac{ x^3}{5(x+3)^2}-\frac{1}{5} x)= lim_{x → ∞}\frac{x^3-(x+3)^2\cdot x}{{5(x+3)^2}}= lim_{x → ∞}\frac{-6x^2-9x}{5(x+3)^2}=-\frac{6}{5}$

$y=\frac{1}{5}x-\frac{6}{5}$ – наклонная асимптота.


Исследование с помощью первой производной:

$y`=\frac{1}{5}\cdot \frac{3x^2\cdot \cdot (x+3)^2-x^3\cdot 2(x+3)}{((x+3)^2)^2}$

$y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{(x+3)(3x^2\cdot (x+3)-2x^3}{(x+3)^4}$


$y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{3x^2+9x^2-2x^3)}{(x+3)^3}$

$y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3}$

$y`=\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3}$

y`=0

x=–9; x=0
Расставляем знак производной на ОДЗ:

____+_ (–9) ___–___ (–3) ____+__ (0) ___+__

y`>0 на (– ∞ ;–9) и на (–3;0) и на (0;+ ∞ )

Значит функция возрастает на (– ∞ ; –9) и на (–3;0) и на (0;+ ∞ )

y`<0 на (–9;–3)

Значит, функция убывает на (–9;–3)


x=–9 – точка максимума, производная меняет знак с + на –


$y(-9)=\frac{(-9)^3}{5(-9+3)^2}=-\frac{81}{20}=-4\frac{1}{20}$


Исследование с помощью второй производной:


$y``=(y`)`=(\frac{1}{5}\cdot\frac{x^2(x+9)}{(x+3)^3})`$


$y``=\frac{1}{5}\cdot \frac{ (x^3+9x^2)`\cdot (x+3)^3-(x^3+9x^2)\cdot ((x+3)^3)`}{((x+3)^3)^2}$

$y``=\frac{1}{5}\cdot\frac{ (3x^2+18x)\cdot (x+3)^3-(x^3+9x^2)\cdot 3(x+3)^2)}{(x+3)^6}$

Выносим за скобки 3(x+3)²:

$y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{((x^2+6x)\cdot (x+3)-(x^3+9x^2)}{(x+3)^4}$

Раскрываем скобки в числителе.

$y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{x^3+6x^2+3x^2+18x-x^3-9x^2}{(x+3)^4}$


$y``=\frac{3}{5}\cdot\frac{18x}{(x+3)^4}$


$y`` <0$ на (– ∞ ; 0) и (–3;0) ⇒ функция выпукла вверх на (– ∞ ; –3) и (–3;0)

m]y`` >0 [/m] на (0;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на (0;+ ∞ )

x=0 – точка перегиба

y(0)=0