Задача 60188 При каких значениях параметра а...
Условие
Решение
1) Если (4/3) x < 0, то неравенство верно при всех х, удовлетворяющих условию существования корня:
1-(x+2a)^2 ≥ 0
Система:
[m]\left\{\begin {matrix}x<0\\1-(x+2a)^2 ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\(x+2a)^2 ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\-1 ≤ x+2a ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\-1-2a ≤ x ≤ 1-2a\end {matrix}\right.[/m]
Возможны следующие случаи расположения точек -1-2a и 1-2a относительно 0
-1-2a < 1-2a < 0 ⇒ решение [-1-2a;1-2a] длина отрезка 1-2a-(-1-2a)=2
-1-2a < 0 < 1-2a ⇒ решение [-1-2a;0)
0 < -1-2a < 1-2a ⇒ нет решений
2)
1) Если (4/3) x ≥ 0, то возводим в квадрат:
1-(x+2a)^2 ≥(9/16)x^2
Система:
[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\1-(x+2a)^2 ≥(9/16)x^2\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\\frac{25}{16}x^2+4ax+4a^2-1 ≤0 \end {matrix}\right.[/m] D=(4a)^2-4*[m]\frac{25}{16}[/m](4a^2-1)=[m]\frac{25}{4}-25a^2=\frac{25}{4}(1-2a)(1+2a)[/m]
Если D <0, то второе неравенство не имеет решений
Если D =0, то второе неравенство верно при одном значении x=-[m]\frac{4a}{2\cdot \frac{25}{4}}=-\frac{8a}{50}[/m]
Если [b]D > 0[/b], то второе неравенство верно при x_(1) ≤ x ≤ x_(2)
Учитывая первое неравенство получаем, что система имеет решение в виде отрезка в случае:
0 ≤ x_(1) ≤ x ≤ x_(2) решение [x_{1};x_{2}] и длина отрезка [m]x_{2}-x_{1}[/m]
x_(1) < 0 < x_(2) решение [0;x_{2}] и длина отрезка x_{2}
Можно найти корни квадратного трехчлена x_{1} и x_{2}
Можно решить задачу на применение теоремы Виета
Найти [m]x_{2}-x_{1}[/m], если [m]\frac{25}{16}x^2+4ax+4a^2-1 =0[/m] и уравнение имеет корни: [b] (1-2a)(1+2a) >0[/b]
Объединяем ответы 1) и 2)