Задача 60188 При каких значениях параметра а...

Govorun

8 июня 2021 г. в 15:51

При каких значениях параметра а множеством неровности sqrt (1– (x + 2a) ^ 2)> = (4/3)x является промежуток длиной 9/5

exponenta

8 июня 2021 г. в 16:40

★

Два случая:

1) Если (4/3) x < 0, то неравенство верно при всех х, удовлетворяющих условию существования корня:

1–(x+2a)² ≥ 0

Система:

[m]\left\{\begin {matrix}x<0\\1-(x+2a)^2 ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\(x+2a)^2 ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\-1 ≤ x+2a ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\-1-2a ≤ x ≤ 1-2a\end {matrix}\right.[/m]

Возможны следующие случаи расположения точек –1–2a и 1–2a относительно 0

–1–2a < 1–2a < 0 ⇒ решение [–1–2a;1–2a] длина отрезка 1–2a–(–1–2a)=2
–1–2a < 0 < 1–2a ⇒ решение [–1–2a;0)
0 < –1–2a < 1–2a ⇒ нет решений


2)
1) Если (4/3) x ≥ 0, то возводим в квадрат:

1–(x+2a)² ≥(9/16)x²

Система:

[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\1-(x+2a)^2 ≥(9/16)x^2\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\\frac{25}{16}x^2+4ax+4a^2-1 ≤0 \end {matrix}\right.[/m] D=(4a)²–4·[m]\frac{25}{16}[/m](4a²–1)=[m]\frac{25}{4}-25a^2=\frac{25}{4}(1-2a)(1+2a)[/m]

Если D <0, то второе неравенство не имеет решений

Если D =0, то второе неравенство верно при одном значении x=–[m]\frac{4a}{2\cdot \frac{25}{4}}=-\frac{8a}{50}[/m]

Если D > 0, то второе неравенство верно при x₁ ≤ x ≤ x₂

Учитывая первое неравенство получаем, что система имеет решение в виде отрезка в случае:

0 ≤ x₁ ≤ x ≤ x₂ решение [x_{1};x_{2}] и длина отрезка [m]x_{2}-x_{1}[/m]

x₁ < 0 < x₂ решение [0;x_{2}] и длина отрезка x_{2}


Можно найти корни квадратного трехчлена x_{1} и x_{2}

Можно решить задачу на применение теоремы Виета

Найти [m]x_{2}-x_{1}[/m], если [m]\frac{25}{16}x^2+4ax+4a^2-1 =0[/m] и уравнение имеет корни: (1–2a)(1+2a) >0


Объединяем ответы 1) и 2)