Задача 60144 Исследовать сходимость знакопеременных...

invirdia

5 июня 2021 г. в 19:44

Исследовать сходимость знакопеременных рядов. Если ряд
сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

exponenta

5 июня 2021 г. в 20:41

★

Рассмотрим ряд из модулей:

$|a_{n}|=\frac{2^{n+1}}{2+3^{n}}$

Ряд из модулей сходится по признаку Даламбера

$lim_{n → ∞ }\frac{|a_{n+1}|}|{a_{n}|}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{2^{n+2}}{2+3^{n+1}}}{\frac{2^{n+1}}{2+3^{n}}}=$

$=lim_{n → ∞ }\frac{2^{n+2}\cdot (2+3^{n})}{(2+3^{n+1})\cdot 2^{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{2(2+3^{n}}{2+3^{n+1}}=\frac{ ∞ }{ ∞ }$

Делим и числитель и знаменатель на $3^{n+2}$

[m]=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{2(2+3^{n}}{3^{n+1}}{\frac{2+3^{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3} < 1[/m]

Значит, данный ряд сходится абсолютно.