Задача 60133 y''-6y'=5y=25x y(0)=7 y'(0)=2...
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''-6y'+5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+5=0
D=36-20=16=4^2
k_(1)=(6-4)/2=1 и k_(2)=(6+4)/2=5 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(5x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид: f(x)=25x ,
поэтому частное решение имеет идентичный вид:
y_(частное неодн)=Аx+B
y`_(частное неодн) =A
y``_(частное неодн)=0
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
(0)-6*(A)+5*(Аx+B)=x
два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты
при одинаковых степенях переменной
5*Аx+5В-6А=25x
[b]5А=25; [/b]⇒ A=5
[b]5B-6A=0[/b] ⇒ 5B-6A=0 ⇒ 5B-6*5=0 ⇒ 5B=30 ⇒ B=6
y_(частное неодн)=5x+6
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(5x)+5x+6
Начальные условия даны, чтобы найти C_(1) и С_(2)
y(0)=7
x=0; y=7 подставляем в y_(общее неодн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(5x)+5x+6
учитывая, что e^(0)=1 получаем:
7=С_(1)+С_(2)+6 ⇒ С_(1)+С_(2)=1
y`_(общее неодн)=(C_(1)e^(x)+C_(2)e^(5x)+5x+6)`=C_(1)e^(x)+5C_(2)e^(5x)+5
y`(0)=2
2=C_(1)+5C_(2)+5 ⇒ C_(1)+5C_(2)=-3
РЕшаем систему двух уравнений:
С_(1)+С_(2)=1
C_(1)+5C_(2)=-3 ⇒
4С_(2)=-4
с_(2)=-1
С_(1)=2
y_(общее неодн)=2e^(x)-e^(5x)+5x+6 - решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
( решение задачи Коши)
