Задача 60133 y''-6y'=5y=25x y(0)=7 y'(0)=2...

60bb3b67a1c50e1d3043b43d

5 июня 2021 г. в 11:54

y''–6y'=5y=25x y(0)=7 y'(0)=2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5 июня 2021 г. в 13:54

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''–6y'+5y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²–6k+5=0
D=36–20=16=4²

k₁=(6–4)/2=1 и k₂=(6+4)/2=5 – корни действительные различные,


поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_{общее одн}=C₁e^x+C₂e^5x – общее решение однородного уравнения




Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид: f(x)=25x ,

поэтому частное решение имеет идентичный вид:

y_{частное неодн}=Аx+B

y`_{частное неодн} =A
y``_{частное неодн}=0

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(0)–6·(A)+5·(Аx+B)=x

два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты

при одинаковых степенях переменной

5·Аx+5В–6А=25x

5А=25; ⇒ A=5
5B–6A=0 ⇒ 5B–6A=0 ⇒ 5B–6·5=0 ⇒ 5B=30 ⇒ B=6

y_{частное неодн}=5x+6

y_{общее неодн}=у_{общее однород} +y_{частное неодн}

– общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y_{общее неодн}=C₁e^x+C₂e^5x+5x+6


Начальные условия даны, чтобы найти C₁ и С₂

y(0)=7
x=0; y=7 подставляем в y_{общее неодн}=C₁e^x+C₂e^5x+5x+6

учитывая, что e⁰=1 получаем:

7=С₁+С₂+6 ⇒ С₁+С₂=1

y`<sub>общее неодн</sub>=(C<sub>1</sub>e<sup>x</sup>+C<sub>2</sub>e<sup>5x</sup>+5x+6)`=C₁e^x+5C₂e^5x+5

y`(0)=2

2=C₁+5C₂+5 ⇒ C₁+5C₂=–3


РЕшаем систему двух уравнений:
С₁+С₂=1
C₁+5C₂=–3 ⇒

4С₂=–4

с₂=–1

С₁=2

y_{общее неодн}=2e^x–e^5x+5x+6 – решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
( решение задачи Коши)