Задача 60132 ...
Условие
Решение
x>0; x ≠ 1
[m]5^{log^2_{5}x}=(5^{log_{5}x})^{log_{5}x}=x^{log_{5}x}[/m]
Неравенство примет вид:
[m]x^{log_{5}x}+x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]
[m]2x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]
Делим на 2
[m]x^{log_{5}x} ≥ \sqrt[4]{5}[/m]
Логарифмируем:
[m]log_{5}x^{log_{5}x} ≥ log_{5}\sqrt[4]{5}[/m]
[m]log_{5}x \cdot log_{5}x ≥ log_{5}5^{\frac{1}{4}}[/m]
[m]log^2_{5}x≥ \frac{1}{4}[/m] ⇒ [m]log^2_{5}x- \frac{1}{4} ≥0 [/m] ⇒
[m](log_{5}x-\frac{1}{2})(log_{5}x+\frac{1}{2}) ≥ 0[/m]
[m]log_{5}x ≤ -\frac{1}{2}[/m] или [m]log_{5}x ≥ \frac{1}{2}[/m]
[m]x ≤ 5^{-\frac{1}{2}}[/m] или [m]x ≥ 5^{\frac{1}{2}}[/m]
[m]x ≤ \frac{1}{\sqrt{5}}[/m] или [m]x ≥ \sqrt{5}[/m]
С учетом ОДЗ получаем ответ:
[m](0; \frac{1}{\sqrt{5}}] \cup[\sqrt{5};+ ∞ )[/m]
