Задача 60120 Проинтегрировать следующие...
Условие
(1-e^(x/y))dx+e^(x/y)(1-x/y)dy = 0
Решение
Уравнение принимает вид: [m]x`= φ (\frac{x}{y})[/m]
[m]x`=-\frac{e^{\frac{x}{y}}\cdot (1-\frac{x}{y})}{1-e^{\frac{x}{y}}}[/m]
Это однородное уравнение первого порядка.
Замена:
[m]\frac{x}{y}=u[/m] ⇒[m] x=y\cdot u[/m]
[m]x`=y`\cdot u+y\cdot u`[/m]
y`=1
[m]x`=u+y\cdot u`[/m]
[m]u+y\cdot u`=\frac{e^{u}\cdot (1-u)}{e^{u}-1}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]y\cdot u`=\frac{e^{u}\cdot (1-u)}{e^{u}-1}-u[/m]
[m]\frac{du}{dy}=u`[/m]
[m]y\cdot du=(\frac{e^{u}-ue^{u}-ue^{u}+u}{e^{u}-1})dy[/m]
[m]\frac{(e^{u}-1)du}{e^{u}-2ue^{u}+u}=\frac{dy}{y}[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{(e^{u}-1)du}{e^{u}-2ue^{u}+u}= ∫ \frac{dy}{y}[/m]
Интеграл слева может и "неберущийся"... Условие скорее всего неверно написано...
Вольфрам выдал то же самое:
Такая же замена но вместо переменной u переменная v
