Задача 59932 Вычислить по отрезку y=x/2 - 2 от...

6092f4dd7f8df849e8a50784

26.05.2021 08:16:05

Вычислить по отрезку y=x/2 - 2 от точки(0,-2) до точки (4,0).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2021 11:22:47

★

[m]dl=\sqrt{1+(y`)^2}dx[/m]

[m]y`=(\frac{x}{2}-2)`=\frac{1}{2}[/m]

[m]dl=\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}dx=\frac{\sqrt{5}}{2}dx[/m]


0 ≤ x ≤ 4


∫ _(0)^(4)[m]\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}dx}{\sqrt{x^2+(\frac{x}{2}-2)^2}}[/m] - определённый интеграл

[m]=\frac{\sqrt{5}}{2}∫ _{0}^{4}\frac{dx}{x^2+\frac{x^2}{4}-2x+4}=[/m]


[m]=\sqrt{5}∫ _{0}^{4}\frac{dx}{5x^2-8x+16}=[/m]

интегрирование квадратного трехчлена, выделяем полный квадрат:

[m]5x^2-8x+16=5(x^2-\frac{8}{5}+\frac{16}{5}=5((x-\frac{8}{10})^2+\frac{256}{100})[/m]



[m]=\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}∫ _{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{8}{10})^2+\frac{256}{100}}}=[/m]

cм формулу таблицы интегралов: