Задача 59902 dx/dt=2y-3x,dy/dt=y-2x Решить систему...

oduvanchik_polevoi

25 мая 2021 г. в 12:15

dx/dt=2y–3x,dy/dt=y–2x Решить систему уравнений

exponenta

25 мая 2021 г. в 13:15

★

$\left\{\begin{matrix} x`(t)=2y-3x\\y`(t)=y-2x \end{matrix}\right.$

Выразим из второго уравнения $x$ и подставим в первое уравнение:
$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`)`=2y-3\cdot (\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`)\\x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`\end{matrix}\right.$

Решаем первое уравнение:

$\frac{1}{2}y`-\frac{1}{2}y``=2y-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}y`$

$\frac{1}{2}y``+y`+\frac{1}{2}y=0$

получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами



Cоставляем характеристическое уравнение:
$\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}=0$

Умножаем на 2:
$k^2+2k+1=0$

$k_{1,2}=-1$ – корни действительные кратные.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_{общее однород}=$C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{-t}$


Находим

y`<sub>общее однород</sub>=$C_{1}e^{-t}\cdot (-t)` +C_{2}\cdot (t)`\cdot e^{-t}+C_{2}\cdot t \cdot e^{-t}\cdot (-t)`$

y`_{общее однород}=$-C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot e^{-t}-C_{2}\cdot t \cdot e^{-t}$


x_{общее однород}=$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`=C_{1}e^{-t} +C_{2}( t-\frac{1}{2})\cdot e^{-t}$



Итак, общее решение системы:

$\left\{\begin{matrix} x=C_{1}e^{-t} +C_{2}( t-\frac{1}{2})\cdot e^{-t}\\y=C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{-t}\end{matrix}\right.$