Задача 59902 dx/dt=2y-3x,dy/dt=y-2x Решить систему...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=2y-3x\\y`(t)=y-2x \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`)`=2y-3\cdot (\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`)\\x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`\end{matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение:
[m]\frac{1}{2}y`-\frac{1}{2}y``=2y-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}y`[/m]
[m]\frac{1}{2}y``+y`+\frac{1}{2}y=0[/m]
получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}=0[/m]
Умножаем на 2:
[m]k^2+2k+1=0[/m]
[m]k_{1,2}=-1[/m] - корни действительные кратные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{-t}[/m]
Находим
y`_(общее однород)=[m]C_{1}e^{-t}\cdot (-t)` +C_{2}\cdot (t)`\cdot e^{-t}+C_{2}\cdot t \cdot e^{-t}\cdot (-t)`[/m]
y`_(общее однород)=[m]-C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot e^{-t}-C_{2}\cdot t \cdot e^{-t}[/m]
x_(общее однород)=[m]\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y`=C_{1}e^{-t} +C_{2}( t-\frac{1}{2})\cdot e^{-t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x=C_{1}e^{-t} +C_{2}( t-\frac{1}{2})\cdot e^{-t}\\y=C_{1}e^{-t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{-t}\end{matrix}\right.[/m]
