Задача 59818 ...

Александр_347499680

20 мая 2021 г. в 07:09

y'sinx–y ln y = 0,y (π/2)=1

exponenta

20 мая 2021 г. в 09:27

★

y'sinx–y ln y = 0,

y`=dy/dx

(sinx)·dy=(ylny)·dx – уравнение с разделяющимися переменными

dy/(ylny)=dx/(sinx)

∫ dy/(ylny)= ∫ dx/(sinx)

Так как d (lny)=(1/y)dy=dy/y, то

∫ d(lny)/(lny)= ∫ dx/(sinx)

cм скрин с формулами

ln|lny|=ln|tg(x/2)|+lnC

ln|lny|=lnC·|tg(x/2)|

lny=C·tg(x/2)

y=e^C·tg(x/2)

y=e^C·e(tg(x/2))

e^C обозначим С

y=C·e^tg(x/2)– общее решение


Задача Коши:
y (π/2)=1


Подставляем
x=π/2
y=1
в общее решение и находим С

1=C·e^tg(π/4)

1=C·e

C=1/e

y=(1/e)·e^tg(x/2)– частное решение, удовлетворяющее условию y (π/2)=1


0=С·1