Задача 59785 вычислить площадь фигуры ограниченной...

609ffb593f1bb8747d24c97c

15.05.2021 19:50:56

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x=e^t*(cos(t)+sin(t)), y=e^t*(cos(t)-sin(t)), 0=<t=<pi

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.05.2021 22:02:55

★

Cм. скрин.


x`(t)=e^(t)*(cost+sint)+e^(t)*(-sint+cost)=e^(t)*(2cost)

y`(t)=e^(t)*(cost-sint)+e^(t)*(-sint-cost)=e^(t)*(-2sint)

При t=0 ⇒ x=1

При t=π ⇒ x=-e^(π)

[a;b]=[-e^(π); 1]

⇒
α =π
β =0

S= ∫_(π) ^(0)e^(t)*(cost-sint)*e^(t)*(2cost)dt=

считаем по частям каждый из двух интегралов два раза....




В данной задаче удобнее применить вторую формулу ( выделена красным цветом)


S= (1/2)∫_(π) ^(0)(e^(t)*(cost+sint)*e^(t)*(-2sint)-e^(t)*(cost-sint)*e^(t)*(2cost))dt=


=-(1/2)∫_(0) ^(π)(e^(t))^(2)*(-2sint*cost-2sin^2t-2cos^2t+2sint*cost)dt=


=-(1/2)∫_(0) ^(π)(e^(t))^(2)(-2)dt=

=∫_(0) ^(π)e^(2t)dt=(1/2)e^(2t)|_(0)^(π)=(1/2)e^(2π)-(1/2)e^(0)=[b](1/2)*(e^(2π)-1)[/b]