Задача 59785 вычислить площадь фигуры ограниченной...

609ffb593f1bb8747d24c97c

15 мая 2021 г. в 19:50

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x=e^t·(cos(t)+sin(t)), y=e^t·(cos(t)–sin(t)), 0=<t=<pi

exponenta

15 мая 2021 г. в 22:02

★

Cм. скрин.


x`(t)=e^t·(cost+sint)+e^t·(–sint+cost)=e^t·(2cost)

y`(t)=e^t·(cost–sint)+e^t·(–sint–cost)=e^t·(–2sint)

При t=0 ⇒ x=1

При t=π ⇒ x=–e^π

[a;b]=[–e^π; 1]

⇒
α =π
β =0

S= ∫_π ⁰e^t·(cost–sint)·e^t·(2cost)dt=

считаем по частям каждый из двух интегралов два раза....




В данной задаче удобнее применить вторую формулу ( выделена красным цветом)


S= (1/2)∫_π ⁰(e^t·(cost+sint)·e^t·(–2sint)–e^t·(cost–sint)·e^t·(2cost))dt=


=–(1/2)∫₀ ^π(e^t)²·(–2sint·cost–2sin²t–2cos²t+2sint·cost)dt=


=–(1/2)∫₀ ^π(e^t)²(–2)dt=

=∫₀ ^πe^2tdt=(1/2)e^2t|₀^π=(1/2)e^2π–(1/2)e⁰=(1/2)·(e^2π–1)