Задача 59528 При каких значениях параметра a...

antoshkaxxr

1 мая 2021 г. в 18:24

При каких значениях параметра a система
2^lny=4^|x|
log₂(x⁴y²+2a²)=log₂(1–ax²y²)+1
имеет единственное решение?

exponenta

3 мая 2021 г. в 10:11

★

ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}y>0\\x^4y^2+2a^2>0\\1–ax^2y^2>0\end {matrix}\right.[/m]

Так как
2a² ≥ 0, то x⁴y² >0

y>0 ⇒ x ≠ 0



2^lny=4^|x| ⇒ 2^lny=2^2|x| ⇒ lny=2|x|

log₂(x⁴y²+2a²)=log₂(1–ax²y²)+1 ⇒ log₂(x⁴y²+2a²)=log₂(1–ax²y²)+log₂2

⇒
log₂(x⁴y²+2a²)=log₂2·(1–ax²y²) ⇒

x⁴y²+2a²=2·(1–ax²y²)



[m]\left\{\begin {matrix}y>0\\x ≠ 0\\lny=2|x|\\x^4y^2+2a^2=2\cdot (1–ax^2y^2)\end {matrix}\right.[/m]

График lny=2|x| на рис. 1
Учесть ОДЗ – значит исключить точку с абсциссой 0

Получим "выколотую" точку (0;1)

Теперь разберемся со вторым уравнением:

x⁴y²+2a²=2·(1–ax²y²) –

y²·(x²)²+2a·y²·x²+2a²–2=0

Это биквадратное уравнение .

D=(2ay²)²–4·y²·(2a²–2)=

Здесь мне не очень нравится... Поэтому вопрос по условию... Там все верно? Приложите фото...