Задача 59526 ...
Условие
log(15)(x+5) + log(15)(x^2 + 1/(x+5)) ≤ 2log(15)(x^2 + x + 5)/2
Решение
{x+5>0 ⇒ x >-5⇒х∈ (-5 ;+∞)
{x^2+[m]\frac{1}{x+5}[/m] >0 - верно при любых х∈ (-5 ;+∞)
{[m]\frac{x^2+x+5}{2}[/m] >0 - верно при любых х∈ (- ∞ ;+∞), так как D=1-4*5 <0
[b]ОДЗ: х ∈ (-5 ;+∞)[/b]
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(15) (x+5) *(x^2+[m]\frac{1}{x+5}[/m])≤[b]2[/b] log_(15) [m]\frac{x^2+x+5}{2}[/m]
По свойству логарифма степени:
log_(15) (x+5) *(x^2+[m]\frac{1}{x+5}[/m])≤ log_(15) [m](\frac{x^2+x+5}{2})^2[/m]
Логарифмическая функция с снованием (15 >1) возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
(x+5) *(x^2+[m]\frac{1}{x+5}[/m])≤ [m](\frac{x^2+x+5}{2})^2[/m]
Так как согласно ОДЗ х ∈ (-5 ;+∞), то х+5 ≠ 0,
значит можно неравенство записать в виде:
(x+5)*x^2+1 ≤[m]\frac{(x^2+x+5)^2}{4}[/m]
Умножаем на 4:
4*(x+5)*x^2+4≤(x^2+x+5)^2
[b]4*(x+5)*x^2[/b]+4≤ (x^2)^2+[b]2*x^2*(x+5)[/b]+(x+5)^2
4≤ (x^2)^2-[b]2*x^2*(x+5)[/b]+(x+5)^2
4 ≤(x^2-(x+5))^2
(x^2-x-5)^2-2^2 ≥ 0
(x^2-x-5-2)*(x^2-x-5+2) ≥ 0
[red][b](x^2-x-7)*(x^2-x-3) ≥ 0[/b][/red]
Решаем неравенство методом интервалов
[b]x^2-x-7=0[/b]
D=1-4*(-7)=29
x_(1)=(1-sqrt(29))/2; x_(2)=(1+sqrt(29))/2
[b]x^2-x-3=0[/b]
D=1-4*(-3)=13
x_(3)=(1-sqrt(13))/2; x_(4)=(1+sqrt(13))/2
__[red]+[/red]_ [x_(1)] __-__ [x_(3)] __[red]+[/red]__ [x_(4)] ___-__ [x_(2)]_[red]+[/red]__
C учетом ОДЗ, согласно которому х ∈ (-5 ;+∞), получаем
О т в е т
(-5; (1-sqrt(29))/2] U [(1-sqrt(13))/2; (1+sqrt(13))/2] U[(1+sqrt(29))/2;+ ∞ )
