Задача 59511 Решите уравнение 1+sinx+cosx =...

Инна

29 апреля 2021 г. в 21:04

Решите уравнение

1+sinx+cosx = 2cos(x/2 – 45)

exponenta

29 апреля 2021 г. в 21:21

★

2cos((x/2)–45 ° )=2cos(x/2)·cos45 ° +2sin(x/2)·sin45 ° =√2·(cos(x/2)+sin(x/2))

1+sinx=sin²(x/2)+2sin(x/2)·cos(x/2)+cos²(x/2)=(sin(x/2)+cos(x/2))²

cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2)=(cos(x/2)–sin(x/2))·(cos(x/2)+sin(x/2))


Уравнение принимает вид:

(sin(x/2)+cos(x/2))²+(cos(x/2)–sin(x/2))·(cos(x/2)+sin(x/2))=√2·(cos(x/2)+sin(x/2))

(sin(x/2)+cos(x/2))²+(cos(x/2)–sin(x/2))·(cos(x/2)+sin(x/2))–√2·(cos(x/2)+sin(x/2))=0

Раскладываем на множители:

(cos(x/2)+sin(x/2))·(cos(x/2)+sin(x/2)+cos(x/2)–sin(x/2)–√2)=0

(cos(x/2)+sin(x/2))·(cos(x/2)+cos(x/2)–√2)=0

1)
cos(x/2)+sin(x/2)=0

tg(x/2)=–1

(x/2)=(π/4)+πm, m ∈ Z

x=(π/2)+2πm, m ∈ Z


2)
cos(x/2)+cos(x/2)–√2=0


cos(x/2)=√2/2

x/2= ± (π/4)+2πk, k ∈ Z

x=± (π/2)+4πk, k ∈ Z


О т в е т. (π/2)+2πm, m ∈ Z